σ-代数
在數學中,某個集合 X 上的 σ-代数又叫 σ-域,是 X 的冪集的子集合(X 的冪集即包含所有 X 的子集的集合系)。这个子集满足对于補集运算和可數個聯集运算的封闭性(因此对于可數個交集运算也是封闭的)。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。
σ-代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候,都需要用到。
定义
讓 为非空集合,集合系 中的元素是 的子集合,满足以下条件的集合系 称为 上的一个 σ-代数:[1][2]
- 是集合系 中的元素;
- 如果集合 在 中,那么它的補集 也在中;
- 如果有可數个集合 都在 中,那么它们的聯集也在 中。
以上條件用数学语言来表示,就是:
為一集合,假設有集合系 ,其中 代表 的冪集,若 滿足下列條件
則稱集合系 是 的 σ-代數。
在測度論裡 称为一个可测空间。 集合族 中的元素,也就是 的某子集,称为可测集合。而在概率论中,这些集合被称为随机事件。
例子
- 有两个σ-代数的簡單例子,它们分别是:
- 上含集合最少的σ-代数;
- 上含集合最多的σ-代数是的冪集。
- 假设集合,那么 是集合上的一个σ-代数。这也是所有包含的σ-代数中最“小”的一个。
参考来源
- Paul Halmos. . Van Nostrand. 1950.,第28页
- Marc Briane & Gilles Pagès. . Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2.,第45-46页
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.