σ-代数

讓 ${\displaystyle X}$ 为非空集合，集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的元素是 ${\displaystyle X}$ 的子集合，满足以下条件的集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 称为 ${\displaystyle X}$ 上的一个 σ-代数：[1][2]

• ${\displaystyle X}$ 是集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的元素；
• 如果集合 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中，那么它的補集 ${\displaystyle A^{c}}$也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中；
• 如果有可數个集合 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$ 都在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中，那么它们的聯集也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中。

以上條件用数学语言来表示，就是：

${\displaystyle X}$ 為一集合，假設有集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$，其中 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 代表 ${\displaystyle X}$ 的冪集，若 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 滿足下列條件

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}};}$
• ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}\;\Rightarrow \;A^{c}\in {\mathcal {F}};}$
• ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}},\;\forall n\in \mathbb {N} \;\Rightarrow \;\bigcup _{n}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.}$

則稱集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的 σ-代數。

在測度論裡 ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)}$称为一个可测空间。 集合族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的元素，也就是 ${\displaystyle X}$ 的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

σ-代数是一个代数（域）也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。