闭开集

在拓扑学中，在拓扑空间中的闭开集（Clopen set）是既是开集又是闭集的集合。

例子
  • 在任何拓扑空间X中，空集和整个空间X都是闭开集。
  • 有些拓扑空間內有其他開閉集，如離散空間的任意子集都是閉開集。
  • 考虑由两个区间[0,1]和[2,3]的并集构成的空间X。在X上的拓扑是从实直线R上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在X中，集合[0,1]和[2,3]都是闭开集。这是非常典型的例子：只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
  • 不太常见的例子，考虑所有有理数的空间Q带有它们的正常拓扑，和平方大于2的所有正有理数的集合A。利用√2不在Q中的事实，可以非常容易的证明A是Q的闭开子集。（还要注意A不是实直线R的闭开子集；它在R中既不是开集也不是闭集。）

性质
  • 拓扑空间X是连通的，当且仅当唯一的闭开集是空集和X。
  • 集合是闭开集，当且仅当它的边界是空的。
  • 任何闭开集是（可能无限多）连通单元的并集。
  • 如果X的所有连通单元是开集（例如，如果X只有有限多个单元，或者X是局部连通的），则集合是X中的闭开集，当且仅当它是连通单元的并集。
  • 拓扑空间X是离散的，当且仅当所有它的子集都是闭开集。
  • 使用并集和交集作为运算，给定拓扑空间X的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得：参见Stone布尔代数表示定理。

参见
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