闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（ inequality）表明L^p空间是一个赋范向量空间。设 $S$ 是一个度量空间， $1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)$ ，那么 $f+g\in L^{p}(S)$ ，我们有：

\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}

如果 $1<p<\infty$ ，等号成立当且仅当 $\exists k\geq 0,f=kg$ ，或者 $g=kf$ .

闵可夫斯基不等式是 $L^{p}(S)$ 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

将所有实数 $x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}$ （ $n$ 为 $S$ 的维数）改成复数同样成立。

值得指出的是，如果 $x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0$ ， $p<1$ ，则 $\leq$ 可以变为 $\geq$ .

积分形式的证明

我们考虑 $\|f+g\|_{p}$ 的 $p$ 次幂：

$\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{{\frac {1}{p}}\cdot p}=\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx$

（用三角形不等式展开 $|f(x)+g(x)|$ ）

$\leq \int _{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int _{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx$

（用赫尔德不等式）

$\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

$=\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

（利用 $p=qp-q$ ，因为 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ ）

$=\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得

$\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}$

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形，证明是完全类似的。

参阅

马勒不等式

参考文献

邢家省. . 聊城大学学报（自然科学版）. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 请检查|issn=值 (帮助).
张愿章. . 河南科学. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 请检查|issn=值 (帮助).
匡继昌. . 山东科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7.
（英）哈代（G.H.Hardy），（英）利特尔伍德（J.E.Littlewood），（美）波利亚（G.Polya）著；越民义译. . 人民邮电出版社. 2008: 第二章第十七节. ISBN 978-7-115-18802-1.

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