高斯引理 (多項式)

整係數多項式 ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$被稱作本原如果係數的最大公因數是1。那麼我們有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

证明：設整係數多項式${\displaystyle p(x),q(x)}$是本原的。显然${\displaystyle r(x)=p(x)q(x)}$是整係數多項式，因此如果引理敘述不成立，則可以假設其係數是質數的公因數${\displaystyle n}$。而因為${\displaystyle p(x),q(x)}$皆是本原的，從而可假設${\displaystyle i,j}$分別是滿足${\displaystyle p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}}$的最小整數，其中${\displaystyle a_{i}x^{i},b_{j}x^{j}}$分別是多項式${\displaystyle p(x),q(x)}$的其中一項。現在我們知道${\displaystyle r(x)}$的${\displaystyle i+j}$項係數是

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}{\pmod {n}}.}$

但這表示他不是${\displaystyle n}$的被數，矛盾，故得證。

高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在${\displaystyle \mathbb {Q} \left[x\right]}$內可約，則他在${\displaystyle \mathbb {Z} \left[x\right]}$內也可約。

证明：設${\displaystyle p(x),q(x)}$是兩個非常數的有理係數多項式（在${\displaystyle \mathbb {Q} \left[x\right]}$內可約就一定可分解成兩個非常數的有理係數多項式），使得${\displaystyle r(x)=p(x)q(x)}$是整係數多項式。設${\displaystyle m_{1},m_{2}}$分別為${\displaystyle p(x),q(x)}$各係數的分母之最小公倍數，而${\displaystyle d_{1},d_{2}}$分別是其各係數最大公因數。從而${\displaystyle \textstyle p_{2}(x)={\frac {m_{1}}{d_{1}}}g(x),q_{2}(x)={\frac {m_{2}}{d_{2}}}h(x)}$皆是本原多項式，從而由上一個引理得到${\displaystyle p_{2}(x)q_{2}(x)}$也是本原多項式，但${\displaystyle \textstyle r(x)={\frac {d_{1}d_{2}}{m_{1}m_{2}}}p_{2}(x)q_{2}(x)}$是整係數多項式，因而${\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}d_{2}}{m_{1}m_{2}}}\in \mathbb {Z} }$，故${\displaystyle r(x)}$在${\displaystyle \mathbb {Z} \left[x\right]}$也可約。

1. Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)