三角积分

有两种不同的正弦积分：

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$的原函数，当${\displaystyle x=0\,}$时为零；${\displaystyle {\rm {si}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$的原函数，当${\displaystyle x=\infty }$时为零。我们有：

${\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}$

注意到${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。

有两种不同的余弦积分：

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

其中${\displaystyle \gamma }$是欧拉-马斯刻若尼常数.

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}}$的原函数，当${\displaystyle x\to \infty }$时为零。我们有：

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}$

${\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}$

有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

函数

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$

称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}$

• 指数积分
• 对数积分

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）页面存档备份，存于
  • 第5.2节，正弦和余弦积分页面存档备份，存于