体积形式
数学中,体积形式提供了函数在不同坐标系(比如球坐标和圆柱坐标)下对体积积分的一种工具。更一般地,一个体积元是流形上一个测度。
在一个定向n-维流形上,体积元典型地由体积形式生成,所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的,而可定向流形有无穷多个体积形式(细节见下)。
有一个推广的伪体积形式概念,对无论可否定向的流形都存在。
许多类型的流形有典范的(伪)体积形式,因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形,一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。
定义
流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶(n-维流形上的n-形式)微分形式。
用线丛的语言来说,称最高阶外积为行列式线丛,n-形式是它的截面。
对不可定向流形,一个体积“伪”形式,也称为“奇”或“扭曲”的体积形式,可以定义为定向丛的一个处处非0截面;这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下,(非扭曲的)微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时,我们总是略去形容词“偶”。
第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。
定向
一个流形具有体积形式当且仅当它可定向,这也可以作为可定向的一个定义。
在G-结构的语言中,一个体积形式是一个SL-结构。因为是形变收缩(因为,这里正实数视为纯量矩阵),一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个-结构,即是一个定向。
在线丛的语言中,行列式丛的平凡性等价于可定向性,而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面,这样又得到,体积形式的存在性等价于可定向性。
对于伪体积形式,一个伪体积形式是一个-结构,因为 同伦等价(事实上是形变收缩),任何流形都有伪体积形式。类似地,定向丛总是平凡的,所以任何流形都有一个伪体积形式。
和测度的关系
任何流形有一个伪体积形式,因为定向丛(作为线丛)是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω,密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。
任何伪体积形式ω(从而任何体积形式亦然)定义了一个波莱尔集合上一个测度:
注意区别,在于任何一个测度可以在(Borel)子集上积分,而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中,写成,将视为体积形式而不是测度,表明“在上沿着定向相反的反向积分”,有时记成。
进一步,一般的测度不必连续或光滑,他们不必由体积形式定义;或更形式地说,关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。
例子
李群
任何李群,可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说,如果ωe 是中一个元素,那么一个左不变形式可以定义为,这里Lg为左平移。作为一个推论,任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的,相应的测度称为哈尔测度。
黎曼体积形式
任何黎曼流形(或伪黎曼流形)有一个自然的体积(或伪体积)形式。在局部坐标系下,能写成表达式:
这里流形为n-维,是流形上度量张量行列式的绝对值,为组成流形余切丛一组基的1形式。
这个体积形式有许多不同的记号,包括:
这里∗是霍奇对偶,从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。
尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式,但是这个记法很难通用,符号ω在微分几何中经常有其它意思(比如辛形式),所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。
一个流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。
曲面的体积形式
体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集,以及映射函数
定义了嵌入到中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为
指标i从1跑到n,j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量,度量矩阵分量为:
度量的行列式由
给出,这里是楔积。对一个正则曲面,这个行列式不为0;等价地,雅可比矩阵的秩为2。
给出。从而坐标用形式表示是。坐标变换的雅可比矩阵为:
在新坐标系下,我们有:
从而度量变换为:
这里 是在v坐标系下的度量。行列式:
- .
给出以上构造后,现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维,体积就是面积。子集的面积由积分:
给出。从而,在任一坐标系下,体积都有相同的表达式,即这个表达式在坐标变换下是不变的。
注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性,以上结论可以平凡地推广到任意维数。
体积形式不变性
体积形式不是惟一的,它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。
给定M上一个处处函数f,和一个体积形式,也是M上的体积形式。相反地,给定任何两个体积形式,他们的比是一个处处非0函数(如果定向相同为正,定向相反为负)。
在坐标系中,他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度,他们的比就是函数的比,这和坐标系的选取无关。本质上,这是关于的Radon–Nikodym导数。
参考文献
- (PDF). [2008-10-26]. (原始内容存档 (PDF)于2008-05-09).
- Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9(提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍,只需要一般的微积分背景。)