內側三角六邊形二十面體
在幾何學中，內側三角六邊形二十面體是一種外觀與大三角六邊形二十面體十分接近的星形二十面體，由20個凹六邊形組成，其參考索引為DU41。其對偶多面體為雙三斜十二面體[1]。
| 內側三角六邊形二十面體 | |
|---|---|
 (點選檢視旋轉模型) | |
| 類別 | 均勻多面體對偶 抽象正多面體 |
| 面 | 20 |
| 邊 | 60 |
| 頂點 | 24 |
| 歐拉特徵數 | F=20, E=60, V=24 (χ=-16) |
| 面的種類 |  |
| 頂點圖 | （星狀圖） |
| 對稱群 | Ih |
| 參考索引 | DU41 |
| 對偶 | 變數 "對偶多面體" 未定義。 |
 （星狀圖） （頂點圖） | |
 變數 "對偶多面體" 未定義。 (對偶多面體) | |
由於其與《五十九種二十面體》中收錄的大三角六邊形二十面體有些許不同，因此被描述為「遺失的星形二十面體」[2][3]。
性質
內側三角六邊形二十面體具有20個面、60條邊和24個頂點[4]，其中12個在外部[5]，另外十二個頂點隱沒在圖形在內部。其外觀與大三角六邊形二十面體十分接近，差別僅在內側三角六邊形二十面體隱沒在圖形在內部的12個頂點在大三角六邊形二十面體中是位於圖形表面[6]。
面的組成
內側三角六邊形二十面體的面是一種凹六邊形，且與其他面互相相交、交錯，而分成了十三個部分，其中有三個部分露在外面，同時也是該圖形的尖角，如下圖，以藍色表示；圖形中的黑線為與其他面相交的交線。
頂角性質
內側三角六邊形二十面體的頂角有兩種，雖然兩種都是以五個面組成的五面角，但是其組成的方式不同，一種是單純的5個面構成的五面角，另一種是五個面以互相相交的方式構成，其頂點圖為施萊夫利符號計做 {5/2} 的五角星構成。前者對應其對偶多面體雙三斜十二面體中的五邊形面，後者對應其對偶多面體中的五角星面。
相關多面體
內側三角六邊形二十面體在拓樸中相當於五階六邊形鑲嵌的商空間，其可以將作為內側三角六邊形二十面體中的凹六邊形面進行拓樸變形成正六邊形而構造出五階六邊形鑲嵌，因此在另外一個索引中也被看作是一種抽象的正多面體[7]：
其他四種抽象正多面體為：
| 多面體 |  內側菱形三十面體 |
 十二合十二面體 |
內側三角六邊形二十面體 |
雙三斜十二面體 |
 凹五角錐十二面體 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂點圖 | {5}, {5/2}  |
(5.5/2)2 |
{5}, {5/2} |
(5.5/3)3 |
|
| 面 | 30個菱形 |
12個五邊形 12個五角星 |
20個六邊形 |
12個五邊形 12個五角星 |
20個六邊形 |
| 鑲嵌 |  {4, 5} |
 {5, 4} |
 {6, 5} |
 {5, 6} |
 {6, 6} |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
雖然這些形狀在幾何上，面都不是正多邊形，但其每個面的拓樸結構相同，且所有邊等長，因此可以視為每個面都是「抽象的」正多邊形。
大三角六邊形二十面體
| 名稱 | 大三角六邊形二十面體 | 內側三角六邊形二十面體 |
|---|---|---|
| 圖像 |  |
|
| 對稱性 | 二十面體群（Ih） | |
| 參考索引 | DU47, W34, 30/59 | |
| 尤拉示性數 | F = 20, E = 60 V = 32 (χ = -8) | F = 20, E = 60 V = 24 (χ = -16) |
| 面 |  | |
| 對偶多面體 |  大雙三斜三十二面體 | 雙三斜十二面體 |
| 星狀圖 |  | |
參見
- 大三角六邊形二十面體
- 小三角六邊形二十面體
參考文獻
- Eric W. Weisstein. . 密西根州立大學. 1999-05-26 [2016-09-02]. （原始内容存档于2013-06-25）.
- Guy's polyhedra pages. . steelpillow. 2006-07-11 [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De2f2
- G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
- . dmccooey.com. [2016-09-02]. （原始内容存档于2016-03-24）.
- . bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-04）.
- 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
- David A. Richter. . 西密西根大學. [2013-05-21]. （原始内容存档于2016-03-04）.
- . bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-06）.
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