满射

函数${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，定义为${\displaystyle g(x)=x^{2}}$，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足${\displaystyle x^{2}=-1}$。

但是，如果把${\displaystyle g}$的陪域限制到只有非负实数，则函数${\displaystyle g}$为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数${\displaystyle y}$，我们能对${\displaystyle y=x^{2}}$求解，得到${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$。

• 函数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$为一个满射，当且仅当存在一个函数${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$满足${\displaystyle f\circ g}$等于${\displaystyle Y}$上的恆等函數。（这个陈述等價于选择公理。）
• 根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
• 如果${\displaystyle f\circ g}$ 是满射，则${\displaystyle f}$是满射。
• 如果${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$皆为满射，则${\displaystyle f\circ g}$为满射。
• ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$为满射，当且仅当给定任意函数${\displaystyle g,h:Y\rightarrow Z}$满足${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$，则${\displaystyle g=h}$。
• 如果${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$为满射，且${\displaystyle B}$是${\displaystyle Y}$的子集，则，${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$。因此，${\displaystyle B}$能被其原像复原。
• 任意函数${\displaystyle h:X\rightarrow Y}$都可以分解为一个适当的满射${\displaystyle f}$和单射${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle h=g\circ f}$。
• 如果${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$为满射函数，则${\displaystyle X}$在基数意义上至少有跟${\displaystyle Y}$一样多的元素。
• 如果${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$皆为具有相同元素数的有限集合，则${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$是满射当且仅当${\displaystyle f}$是单射。

• 单射
• 双射