反函数及其微分

• ${\displaystyle \,y=x^{2}}$ ( ${\displaystyle x}$为正)具有逆 ${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$中。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

但是，在 x = 0有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

• ${\displaystyle \,y=e^{x}}$ ( ${\displaystyle x}$为实数)具有逆 ${\displaystyle \,x=\ln {y}}$ ( ${\displaystyle y}$为正值)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}$

• 对反函数积分

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+\mathrm {C} }$

这仅在积分存在的情况下适用。特别地，需要${\displaystyle f'(x)}$在整个积分范围内非零

因此，具有连续导数的函数在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则不成立。

上面给出的链式法则是通过对等式${\displaystyle x=f^{-1}(f(x))}$关于${\displaystyle x}$微分得到的。对于更高阶的导数，我们可以继续同样的过程。对恒等式对${\displaystyle x}$求导两次，得到

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

使用链式法则进一步简化为

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}$

用之前得到的恒等式替换一阶导数，我们得到

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}$

对三阶导数类似:

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

或者用二阶导数的公式，

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$是互逆的，则

${\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}$

• ${\displaystyle \,y=e^{x}}$ 有逆运算${\displaystyle \,x=\ln y}$。 使用反函数的二次导数公式，

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

于是，

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$,

与直接计算相同。

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