基爾霍夫衍射公式

從點波源Q₀發射的單頻率波，其能量與傳播距離平方成反比，波擾的數值大小與傳播距離成反比，在點Q的波擾以方程式表達為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\psi _{0}{\frac {e^{ikr'}}{r'}}}$；

其中，${\displaystyle \psi _{0}}$是複值波幅。

假設點P在閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$之外，應用基爾霍夫積分定理的方程式，可以得到在點P的波擾：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {\psi _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left[\left({\frac {e^{ikr'}}{r'}}\right)\nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\nabla '\left({\frac {e^{ikr'}}{r'}}\right)\right]\cdot \,{\hat {\mathbf {n} }}\mathrm {d} S'}$；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$是與${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}$同方向的單位向量。

注意到球面出射波的梯度為

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)=-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\left(ik-\ {\frac {1}{R}}\right){\hat {\mathbf {R} }}}$、

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikr'}}{r'}}\right)=\left({\frac {e^{ikr'}}{r'}}\right)\left(ik-\ {\frac {1}{r'}}\right){\hat {\mathbf {r} '}}}$。

從基爾霍夫所做的假定，${\displaystyle k\gg 1/R}$、${\displaystyle k\gg 1/r'}$（例如，假設距離大約為1mm，則對於波長在0.4μm至0.7μm之間的可見光，可以做這假定；但對於波長在1mm至1m之間的微波，這假定不適用），則上述兩個公式近似為

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)=-ik\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right){\hat {\mathbf {R} }}}$、

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikr'}}{r'}}\right)=ik\left({\frac {e^{ikr'}}{r'}}\right){\hat {\mathbf {r} '}}}$。

所以，在點P的波擾

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&=-\ {\frac {i\psi _{0}}{2\lambda }}\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ik(r'+R)}}{r'R}}\right)({\hat {\mathbf {r} '}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}+{\hat {\mathbf {R} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})\,\mathrm {d} S'\\&=-\ {\frac {i\psi _{0}}{2\lambda }}\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ik(r'+R)}}{r'R}}\right)(\cos \alpha +\cos \chi )\,\mathrm {d} S'\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \chi }$分別是${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} '}}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$之間的夾角。

這就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，或基爾霍夫衍射公式。[3]

傾斜因子${\displaystyle K(\chi )}$為${\displaystyle [1+\cos(\chi )]/2}$。

如右圖所示，假設閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$是圓球面，點波源Q₀與圓球面${\displaystyle \mathbb {S} }$的圓心同點。在圓球面${\displaystyle \mathbb {S} }$的任意位置，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} '}}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$同向，所以，

${\displaystyle \cos \alpha =1}$。

注意到${\displaystyle r'}$是圓球面${\displaystyle \mathbb {S} }$的半徑，對於這積分，${\displaystyle r'}$值不變，可以從積分裏提出。在點P的波擾為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {i\psi (\mathbf {r} ')}{\lambda }}\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)K(\chi )\,\mathrm {d} S'}$；

其中，${\displaystyle K(\chi )={\frac {1+\cos \chi }{2}}}$為傾斜因子。

應用惠更斯－菲涅耳原理，所得到在點P的波擾的方程式，就是這方程式。但是，惠更斯－菲涅耳原理無法解釋相位差與傾斜因子的物理原因。傾斜因子使得次波的波幅會因為傳播方向而不同；朝著主波方向，波幅較大；逆著主波方向，波幅較小。這解釋了為甚麼波動只會朝著前方傳播的物理現象。[3]

仔細詮釋惠更斯－菲涅耳原理的方程式：從點波源Q₀發射的波幅為${\displaystyle \psi _{0}}$的球面波，在點Q的波擾為${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\psi _{0}e^{ikr'}/r'}$；而從點Q發射的次波，將傾斜因子與相位差納入考量，所貢獻出的波擾，在點P為

${\displaystyle -\ {\frac {i\psi (\mathbf {r} ')}{\lambda }}\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)K(\chi )}$。

總合所有與點Q同波前的點次波源在點P所貢獻出的波擾，就可以得到${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$。

換另一種直接方法來詮釋，從點波源Q₀發射的球面波，在點P的波擾為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{0}{\frac {e^{ikr}}{r}}}$。

假若這兩種詮釋都正確，則從這兩種${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$的表達式分別計算出的結果，應該可以被核對為相等：

${\displaystyle \psi _{0}{\frac {e^{ikr}}{r}}=-\ {\frac {i}{\lambda }}\oint _{\mathbb {S} _{1}}\left({\frac {\psi _{0}e^{ikr'}}{r'}}\right)\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)K(\chi )\,\mathrm {d} S'}$。

為了簡易計算，假設${\displaystyle r\gg r'}$，則以下近似成立：

${\displaystyle R\approx r-r'\cos(\theta )}$、

${\displaystyle R^{2}\approx r^{2}-2rr'\cos(\theta )}$、

${\displaystyle K(\chi )={\frac {1+\cos(\chi )}{2}}\approx {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}$；

其中，${\displaystyle \theta }$為${\displaystyle \mathbf {r} '}$與${\displaystyle \mathbf {r} }$之間的夾角。

所以，在點P的波擾可以近似為

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&\approx -\ {\frac {i\psi _{0}}{2\lambda }}{\frac {e^{ik(r'+r)}}{r'r}}\int _{0}^{\pi }e^{-ikr'\cos(\theta )}[1+\cos(\theta )]2\pi r'^{2}\sin(\theta )\mathrm {d} \theta \\&\approx -\ {\frac {ik\psi _{0}r'e^{ik(r'+r)}}{2r}}\int _{0}^{\pi }e^{-ikr'\cos(\theta )}[1+\cos(\theta )]\sin(\theta )\mathrm {d} \theta \\&\approx -\ {\frac {ik\psi _{0}r'e^{ik(r'+r)}}{2r}}\ {\frac {2[\sin(kr')+i\cos(kr')]}{kr'}}\\&\approx \psi _{0}{\frac {e^{ikr}}{r}}\\\end{aligned}}}$。

假設波源為有限尺寸，位於曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的波擾表達為${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')}$，則位於點P的波擾為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right){\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\,\mathrm {d} S'}$。

假定${\displaystyle k\gg 1/R}$，則

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\left[ik\psi (\mathbf {r} ')\cos {({\hat {\mathbf {R} }},{\hat {\mathbf {n} }}})+{\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\,\mathrm {d} S'}$。

這是基爾霍夫衍射公式最廣義的形式。解析涉及到有限尺寸波源的問題，必須用體積分來將波源的每一點所給出的貢獻總合在一起。