相干性
在物理學裏,相干性()指的是,為了產生顯著的干涉現象,波所需具備的性質。更廣義地說,相干性描述波與自己、波與其它波之間對於某種內秉物理量的相關性質。
當兩個波彼此相互干涉時,因為相位的差異,會造成相长干涉或相消干涉。假若兩個正弦波的相位差為常數,則這兩個波的頻率必定相同,稱這兩個波「完全相干」。兩個「完全不相干」的波,例如白炽灯或太陽所發射出的光波,由於產生的干涉圖樣不穩定,無法被明顯地觀察到。在這兩種極端之間,存在著「部分相干」的波。[註 1]
波源
一般而言,互不相關的波源無法形成可觀察到的干涉圖樣。例如白炽灯或太陽是由很多互不相關、持續生成的微小發光點所組成,每一個發光點只會作用一段時間,發射出一個有限長度的波列,之後,再也不會發光,但在其它位置,又會出現新的發光點。為了要能拍攝到這類光源所產生的由兩個波列疊加形成的干涉圖樣,攝影儀器的曝光時間必須要小於。在舊時,無法製造出這麼高階的攝影儀器,因此從這類光源很難拍攝到干涉圖樣。[2]但是,通過適當處理,仍舊可以觀察到這些光源的干涉圖樣。[3]:457, 460
為了要觀察到這些互不相關的波源所形成的干涉圖樣,必須從這些波源製造出相干性較高的波。有兩種方法可以達成這目標:
- 第一種方法稱為「波前分割法」。從微小波源發射出的波,其波前與微小波源之間的距離大致相等。使用具有幾條狹縫的檔板來過濾從微小波源發射出的波,只要這些狹縫與微小波源之間的距離相等,就可以保證同樣的波前入射於這幾條狹縫。位於波前的每一點都可以視為一個波源,會發射出次波。因此,從這幾條狹縫衍射出來的次波,其相位大致相同。楊氏雙縫實驗就是藉著這方法製成兩束相干性較高的光波,這兩束光波會在觀察屏產生干涉圖樣。
- 第二種方法稱為「波幅分割法」。用半透射、半反射的半鍍銀鏡,可以將光波一分為二,製造出透射波與反射波,這兩束光波非常相似,相干性非常高。假設這兩束光波的光程長度不相等,則由於在觀察屏的相位不同,會產生明顯不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀使用的就是這種方法。[2]
自從激光、激微波的發明以後,物理學者不再為尋找高相干性的光源這問題而煩惱,激光所製造出來的波列通常能維持之久。這給予足夠的曝光時間來拍攝干涉圖樣。
應用
以前,只有在學習光學的楊式雙縫實驗時,才會接觸到相干性這術語。現今許多涉及波動的領域,像聲學、電子工程、量子力學等等,都會使用到這術語。許多科技的運作都倚賴相干性質為基礎。例如,全像攝影術、音波相位陣列、光學相干斷層掃描、天文光學干涉儀、與射電望遠鏡、等等。
相干性與相關性
兩個波的相干性,稱為「互相干性」,來自於它們彼此之間的相關程度,也就是說,它們彼此之間的相似程度。互相關函數可以量度互相干性。[4]:564[3]:545-550 互相關函數可以量度從一個波預測另一個波的能力。舉例而言,設想完全同步相關的兩個波。在任意時間,假若一個波發生任何變化,則另一個波也會做出同樣的變化;讓這兩個波互相干涉,則在任意時間,它們都會展示出完全相長干涉,它們具有完全相干性。互相關函數可以用來支持模式識別系統,例如,指紋識別。
如稍後所述,第二個波不必是另外一個實體,它可能是在不同時間或不同位置的第一個波。這案例所涉及的相關稱為「自相干性」;對於這案例,可以用自相關函數來量度自相干性。自相關函數可以用來從帶有隨機噪聲背景的信號中提取出資訊信號。[3]:545-550
嚴格定義
假設在點S1、點S2的波擾分別為、(波浪號代表複數),則其互相關函數為[3]:566-571[5]:115-118
- ;
其中,單書名號表示取時間平均值,是平均的時間間隔,是相對時移。
互相關函數又稱為「互相干函數」。理論而言,必需取趨向於無窮大的極限;然而,實際而言,只要平均的時間間隔比相干時間(大約是有限長度的波列通過某固定點的有限時間)長久很多就行了。
從互相關函數的定義式,可以衍生出自相關函數,又稱為「自相干函數」。波與相對時移的自己波,兩者之間的自相干函數為
- 。
歸一化的互相干函數又稱為兩個波的「複相干度」,以方程式表示為
- 。
從柯西-施瓦茨不等式可以推導出。
絕對值就是「相干度」。當時,波與波完全相干;當時,兩個波完全不相干;當時,兩個波部分相干。
「干涉可見度」量度干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度,以方程式定義,
- ;
其中,、分別為干涉圖樣的最大輻照度與最小幅照度。
干涉可見度的范围在0到1之间。假設兩個波的振幅相等,則干涉可見度等於相干度:
- 。
各種波動實例
下述這些波的共同之處是,它們的物理行為可以用波動方程式或推廣的波動方程式來描述:
這些種類的波的物理行為,大多數可以直接測量獲得。因此,波與波之間的互相干函數可以很簡單地求得。但是,在光學裏,不能直接的測量電磁場,因為電磁場的震盪太快,比任何探測器的時間分辨率還要快。[6]可行之道是測量光波的輻照度。
大多數在這條目提到的涉及相干性的概念,都是先在光學領域發展成功,然後再適應於其它領域。因此,許多相干性測量標準都是採用間接地測量,甚至在可以直接測量的領域,都是這樣做。
時間相干性
一個波與延遲了時間的自己波,兩者之間的自相干函數,可以用來量度時間相干性。對應的複相干度為,又稱為「複時間相干度」。時間相干性可以表達波源的單色性質,可以量度一個波在延遲某時間後干涉自己的能力,因此又稱為「縱向相干性」。經過一段延遲時間後,假若一個波的相位或波幅開始發生足夠顯著的變化(因此自相干函數開始顯著地減小),則定義此延遲時間為「相干時間」。有限長度的波列通過某固定點的有限時間大約是相干時間。當時,一個波與自己的相干度為;而當時,相干度會顯著地減小,顯示在觀察屏的干涉圖樣也會變得模糊不清。「相干長度」定義為,在相干時間內,波所能傳播的距離,又稱為「縱向相干長度」。[3]:560, 571-573
實例
試想下述四個關於時間相干性的實例:
- 對於任何時間間隔,一個單色波都是完全的自相干(參閱圖1)。
- 反過來說,一個相位迅速飄移的波,其相干時間必定很短(參閱圖2)。
- 類似地,具有較寬頻域的脈衝波(一種波包),由於振幅迅速地變化,所以,相干時間很短(參閱圖3)。
- 白光擁有非常寬的頻域,是一種振幅與相位都迅速變化的波。由於相干時間很短(10週期左右),常被稱為「不相干波」。
白光的頻寬大約為3×1014Hz,因此相干時間為3×10-15s,相干長度非常短,大約只有900nm。普通放電燈的頻寬也很寬闊,因此相干長度也相當短,大約為幾個mm數量級。國際標準Kr86低氣壓放電燈的相干長度比較長,大約為0.3m。[3]:316
激光通常是最單色的光源。高度的單色性意味著相干長度很長。例如,單模氦氖激光能夠發射相干長度接近400m的光。特別穩定性氦氖激光的相干長度可以達到1.5×107m。[3]:316
全息攝影需要用到長相干時間的光。[3]:635由於具有脈衝高能量與較長的相干時間這兩種優點,紅寶石激光時常被應用於全息攝影。[7]:549相對比較,光學相干斷層掃描使用短相干時間的光。
空間相干性
為了展示出顯著的干涉圖樣,楊氏雙縫實驗所使用的光源必須具有空間相干性。光學影像系統與天文望遠鏡的製作必需考慮到光源的空間相干性。
空間相干性與波源的有限尺寸有關。這可以用楊式雙縫實驗來解釋。在典型的楊式雙縫實驗裏,只存在有一個點光源S,其所發射出的單色光,在通過不透明擋板的位於點S1、點S2的兩條狹縫之後,會在觀察屏顯示出干涉圖樣。現在將這實驗加以延伸,將點光源S改為綿延有限尺寸的線光源。從做實驗獲得的結果,物理學者發覺,假定線光源與擋板之間的距離足夠遠,則若要在觀察屏的中央軸區域顯示出干涉圖樣,必須先滿足以下條件:[8]:42-43
- ;
其中,是點S1、點S2對於頂點S的夾角。是光波的平均波長。
注意到、;其中,是兩個狹縫之間的距離,是有限尺寸光源對於檔板中央軸交點的夾角。所以,必須滿足條件[8]:42-43
- 。
因此,可以估算這問題的「橫向相干長度」為。假若兩個狹縫之間的距離大於,則干涉圖樣會消滅殆盡。對於三維案例,可以使用物理量「相干面積」,以方程式表示為。
在許多物理系統裏,像水波或光波一類的波可以傳播於一維或多維的空間。空間相干性量度位於點S1、點S2的的兩個波擾,經過時間平均後,彼此相互干涉的能力。更精確地說,空間相干性是這兩個波擾除去了延遲時間因素之後的互相關函數。假設某波前的波幅為常數,則在其任意兩個位置的波擾,彼此之間都具有完全空間相干性。
繼續思考楊氏雙縫實驗,只專注於檔板與觀察屏之間的狀況。假設點S1、點S2的兩個波擾分別為、,則其互相干函數與點S1、點S2的位置和延遲時間有關。由於在觀察屏的干涉圖樣,其中心點Q是中央軸與觀察屏的交點,從點S1、點S2同時發射的光波,會在同時抵達點Q,延遲時間為
- ;
其中,、分別是從S1、點S2到點Q的距離,是光速。
因此,除去了延遲時間因素,互相干函數可以量度在點S1、點S2的兩個波擾的空間相干性。複相干度稱為在點S1、點S2的兩個波擾的「複空間相干度」。[3]:572
實例
圖5:一個單色平面波,相干長度與相干面積為無窮值。
圖6:一個波前不規則的單色波。因為在點X1與點X1後面λ整數倍數之處的波幅永遠相同,相干長度為無窮值,因為在點X1與點X2的波幅永遠相同,相干面積也為無窮值。
圖7:一個波前不規則的波,相干長度與相干面積為有限值。
圖8:一個波前不規則、相干長度與相干面積為有限值的波,入射於具有一條狹縫的檔板。入射波穿過狹縫後,衍射出來的波,其空間相干性會增加。經過傳播一段距離,在離狹縫較遠處,圓形波前的波近似於平面波。相干面積變為無窮值,而相干長度不變。
圖9:兩個同樣的波,在空間裏傳播。一個波是另外一個波的位移,兩個波的相干長度與相干面積分別為無窮值。兩個波的結合,在某些位置,會建設性干涉(干涉相涨),在另外一些位置,會摧毀性干涉(干涉相消)。經過空間平均,探測器所觀察到的干涉圖樣,其干涉可見度會減低。例如,一個未校準的马赫-曾德尔干涉仪就會出現這種狀況。
試想一個電燈泡的鎢絲,從其不同位置會獨立地發射出毫無固定相位關係的光波。仔細觀察,在任意時間,光波的剖面都毫無規律可言。每經過一段相干時間,光波的剖面都會機率性地變化。電燈泡是一個白光光源,相干時間很短,是一個空間不相干光源。
電波望遠鏡天線陣的空間相干性很高,在天線陣對端的每兩根天線所發射出的光波,彼此之間都有特別設計的固定相位關係。
雷射產生的光波的時間相干性與空間相干性通常都很高,其相干度依激光的性質而定。
全像攝影術的運作,需要時間相干與空間相干的光波。它的發明者,伽博·丹尼斯,在雷射還沒有被發明前,就已經成功地做出全像圖。他將水銀燈的發射線激發出的單色光,通過針孔過濾器,製成全像攝影術所需要的相干光波。
2011年2月,物理學者發現,冷卻至接近絕對零度的氦原子,當變為玻色-愛因斯坦凝聚時,它們的物理行為會如同雷射發射出的相干光束一樣。[9][10]
波譜相干性
不同頻率的波(在光學裏,不同顏色的光波),假若有固定的相對相位關係,則會因干涉而形成一個脈衝波(參閱傅里葉變換)。反過來說,假若不同頻率的波是不相干的,則結合在一起它們會形成像白光或白噪聲一類的波。脈衝波的時間持續期被頻寬限制,依據關係方程式:
- 。
這關係方程式也可以從傅里葉變換推導出。對於量子尺寸的粒子,這是海森堡不確定原理的必然結果。
測量光的波譜相干性,需要用到非線形光波干涉儀,像輻照度相關器、頻域分辨光學開關或波譜相位干涉儀。
量子相干性
在量子力學裏,物質具有波動性(參閱德布羅意假說)。例如,楊氏雙縫實驗也可以用電子來完成。從電子源發射出的每一個電子可以穿過兩條狹縫中的任何一條狹縫,因此,有兩種抵達觀察屏最終位置的方法可供選擇。一種方法是將狹縫S1關閉,電子只能穿過狹縫S2;另一種方法是將狹縫S2關閉,電子只能穿過狹縫S1。每一種方法可以設定為一個特別的量子態。由於這兩個量子態會相互干涉,因而影響電子抵達偵測屏最終位置的機率分佈,也因此形成了觀察屏的干涉圖樣。這相互干涉的能力展現出粒子的「量子相干性」。
假若,試圖探測電子到底是經過哪一條狹縫。那麼,兩個量子態的相位關係會不再存在。這雙態系統就會被退相干化。這現象顯示出量子系統的互補性。
大尺寸(宏觀)量子相干會導致新穎奇異的現象,稱為宏觀量子現象。例如,雷射、超導現象、超流體等等,都是高度相干的量子系統,它們產生的效應可以在宏觀尺寸觀察到。超流體现象是玻色-愛因斯坦凝聚。所有組成凝聚的粒子都同相,可以用單獨一個量子波函數來描述。
換另一方面,薛丁格貓思想實驗強調,不能任意地將量子相干用在宏觀案例。但是,物理學者於2009年成功地在機械共振器的運動裏觀測到量子相干現象。[11]
註釋
參考文獻
- Hecht, Eugene, 4th, United States of America: Addison Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语)
- George Bekefi; Alan H. Barrett. . The MIT Press. 1977: pp. 590ff. ISBN 0-262-52047-8.
- Hecht, Eugene, 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 457, 460, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语)
- M.Born; E. Wolf. 7th ed. 1999.
- Christopher Gerry; Peter Knight. . Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-52735-4.
- Peng, J.-L.; Liu, T.-A.; Shu, R.-H. . Applied Physics B. 2008, 92 (4): 513. Bibcode:2008ApPhB..92..513P. doi:10.1007/s00340-008-3111-6.
- William T. Silfvast. . Cambridge University Press. 12 January 2004. ISBN 978-0-521-83345-5.
- Mandel, Leonard; Wolf, Emil. illustrated, reprint. Cambridge University Press. 1995. ISBN 9780521417112.
- Hodgman, S. S.; Dall, R. G.; Manning, A. G.; Baldwin, K. G. H.; Truscott, A. G. . Science. 2011, 331 (6020): 1046–1049. Bibcode:2011Sci...331.1046H. PMID 21350171. doi:10.1126/science.1198481.
- Pincock, S. . ABC Science. ABC News Online. 25 February 2011 [2011-03-02].
- O'Connell, A. D.; Hofheinz, M.; Ansmann, M.; Bialczak, R. C.; Lenander, M.; Lucero, E.; Neeley, M.; Sank, D. & Wang, H. . Nature. 2010, 464 (7289): 697–703. Bibcode:2010Natur.464..697O. PMID 20237473. doi:10.1038/nature08967.