多元正态分布

N维随机向量${\displaystyle \ X=[X_{1},\dots ,X_{N}]^{T}}$如果服从多变量正态分布，必须满足下面的三个等價条件：

• 任何线性组合${\displaystyle \ Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{N}X_{N}}$服从正态分布。

• 存在随机向量${\displaystyle \ Z=[Z_{1},\dots ,Z_{M}]^{T}}$( 它的每个元素服从独立标准正态分布），向量${\displaystyle \ \mu =[\mu _{1},\dots ,\mu _{N}]^{T}}$及${\displaystyle N\times M}$ 矩阵${\displaystyle \ A}$满足${\displaystyle \ X=AZ+\mu }$.

• 存在${\displaystyle \mu }$和一个对称半正定阵${\displaystyle \ \Sigma }$满足${\displaystyle \ X}$的特征函数

${\displaystyle \phi _{X}\left(u;\mu ,\Sigma \right)=\mathrm {e} ^{i\mu ^{T}u-{\frac {1}{2}}u^{T}\Sigma u}}$

如果${\displaystyle \ \Sigma }$是非奇异的，那么该分布可以由以下的PDF来描述：[1]

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})},}$

注意这里的${\displaystyle |\Sigma |}$表示协方差矩阵的行列式。

二元的情况

在二维非奇异的情况下（k = rank(Σ) = 2），向量 [X Y]′ 的概率密度函数为：

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})^{2}-2\rho ({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})+({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})^{2}\right]}}$

其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数，${\displaystyle \sigma _{X}>0}$ 且 ${\displaystyle \sigma _{Y}>0}$。在这种情况下，

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}\mu _{X}\\\mu _{Y}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\end{pmatrix}}.}$

1. UIUC, Lecture 21. The Multivariate Normal Distribution 页面存档备份，存于, 21.5:"Finding the Density".