正定矩阵

一个n×n的实对称矩阵${\displaystyle M}$是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z^T${\displaystyle M}$z > 0。其中z^T表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)${\displaystyle M}$是正定的当且仅当对于每个非零的複向量z，都有z^*${\displaystyle M}$z > 0。其中z^*表示z的共轭转置。由于${\displaystyle M}$是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的複向量z，z^*${\displaystyle M}$z必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

对n×n的埃尔米特矩阵${\displaystyle M}$，下列性质与“${\displaystyle M}$为正定矩阵”等价：

1.	矩阵${\displaystyle M}$的所有的特征值${\displaystyle \lambda _{i}}$都是正的。根据谱定理，${\displaystyle M}$必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说${\displaystyle M=P^{-1}DP}$，其中P是幺正矩阵，或者说${\displaystyle M}$在某 个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，${\displaystyle M}$是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2.	半双线性形式 ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$ 定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.	${\displaystyle M}$是n个线性无关的k维向量${\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}$的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，${\displaystyle M}$定义为： ${\displaystyle M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}}$ 换句话说，${\displaystyle M}$具有${\displaystyle A^{*}A}$的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4.	${\displaystyle M}$的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式： ${\displaystyle M}$左上角1×1的矩阵 ${\displaystyle M}$左上角2×2矩阵 ... ${\displaystyle M}$自身。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}$
5.	存在唯一的下三角矩阵${\displaystyle L}$，其主对角线上的元素全是正的，使得： ${\displaystyle M=LL^{*}}$. 其中${\displaystyle L^{*}}$是${\displaystyle L}$的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$改为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵${\displaystyle M}$是负定矩阵（英語：）当且仅当对所有不为零的${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$（或${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$），都有：

${\displaystyle z^{*}Mz<0\,}$

${\displaystyle M}$是半正定矩阵（英語：）当且仅当对所有不为零的${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$（或${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$），都有：

${\displaystyle z^{*}Mz\geq 0}$

${\displaystyle M}$是半负定矩阵（英語：）当且仅当对所有不为零的${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$（或${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$），都有：

${\displaystyle z^{*}Mz\leq 0}$

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英語：）。

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵${\displaystyle A}$，A^*A必然是半正定的，并有rank(${\displaystyle A}$) = rank（A^*A，两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A^*A，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

若${\displaystyle M}$为半正定阵，可以写作${\displaystyle M\geq 0}$。如果${\displaystyle M}$是正定阵，可以写作${\displaystyle M>0}$。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$，${\displaystyle M\geq N}$当且仅当${\displaystyle M-N\geq 0}$。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义${\displaystyle M>N}$。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果${\displaystyle M\geq N>0}$那么${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0}$。
2.	如果${\displaystyle M}$是正定阵，${\displaystyle r>0}$为正实数，那么${\displaystyle rM}$也是正定阵。 如果${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$是正定阵，那么和${\displaystyle M+N}$、乘积${\displaystyle MNM}$与${\displaystyle NMN}$都是正定的。如果${\displaystyle MN=NM}$，那么${\displaystyle MN}$仍是正定阵。
3.	如果${\displaystyle M=(m_{ij})>0}$那么主对角线上的系数${\displaystyle m_{ii}}$为正实数。于是有${\displaystyle {\text{tr}}(M)>0}$。此外还有 ${\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}}$ 。
4.	矩阵${\displaystyle M}$是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵${\displaystyle B>0}$使得${\displaystyle B^{2}=M}$。根据其唯一性可以记作${\displaystyle B=M^{1/2}}$，称${\displaystyle B}$为${\displaystyle M}$的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果${\displaystyle M>N>0}$那么${\displaystyle M^{1/2}>N^{1/2}>0}$ 。
5.	如果${\displaystyle M,N>0}$那么${\displaystyle M\otimes N>0}$，其中${\displaystyle \otimes }$表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵${\displaystyle M=(m_{ij}),N=(n_{ij})}$，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为${\displaystyle M\circ N}$，即${\displaystyle M\circ N_{i,j}=m_{ij}n_{ij}}$，称为${\displaystyle M}$与${\displaystyle N}$的阿达马乘积。如果${\displaystyle M,N>0}$，那么${\displaystyle M\circ N>0}$。如果${\displaystyle M,N}$为实系数矩阵，则有如下不等式成立： ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}}$ 。
7.	设${\displaystyle M>0}$，${\displaystyle N}$为埃尔米特矩阵。如果${\displaystyle MN+NM\geq 0}$（${\displaystyle MN+NM>0}$），那么${\displaystyle N\geq 0}$（${\displaystyle N>0}$）。
8.	如果${\displaystyle M,N\geq 0}$为实系数矩阵，则${\displaystyle {\text{tr}}(MN)\geq 0}$。
9.	如果${\displaystyle M>0}$为实系数矩阵，那么存在${\displaystyle \delta >0}$使得${\displaystyle M\geq \delta I}$，其中${\displaystyle I}$为单位矩阵。

一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量x，x^TMx > 0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$

就满足这个条件。对${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})^{T}}$并且${\displaystyle x\neq 0}$，

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0}$

一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x，有x^TMx > 0，当且仅当对称矩阵 (M + M^T) / 2是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎样扩展z^*Mz > 0这一性质。要使z^*Mz总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若z^*Mz总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z^*Mz > 0扩展为Re(z^*Mz) > 0，则等价于（M+M^*） / 2为正定阵。

• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• 正定核
• 正定函数
• Cholesky分解
• 线性矩阵不等式
• 合同矩阵

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

• 正定矩阵
• 关于对称矩阵的一些讨论