完全星形二十面體

在幾何學中，完全星形二十面體（英語：或complete stellation of the icosahedron）[1][2]、完全二十面體（日语：）或針鼴二十面體（英語：[3]）是一種星形二十面體[4]。它是星形二十面體的最外層，也因為包括星形二十面體的所有胞，因此是“完全”和“最後”的星形二十面體。溫尼爾在他的書中列出的種星形多面體模型中，也包含了完全星形二十面體，並給予編號W42[5]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中，編號為8[6]。

完全星形二十面體

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.兩個對稱性的正投影]]
類別星形二十面體
收錄於《五十九種二十面體》中
面20
邊90
頂點60
歐拉特徵數F=20, E=90, V=60 (χ=-10)
面的種類九角星
頂點圖（星狀圖）
頂點佈局(9/4)3
參考索引W42, 8/59
對偶一種星形六十面體

（星狀圖）
（頂點圖）

幾何形狀上，完全星形二十面體有兩種形式，其在外觀上無法區別：

  • 一種是非正的星形（自相交）多面體，由二十個九角星（邊自相交九邊形）組成。
  • 另一種是由180個三角形組成的簡單多面體，其中包含60個等腰三角形、120個不規則三角形、270條邊和92個頂點。這種多面體比較然亦建構出一個完全星形二十面體的模型。

性質

完全星形二十面體共有20面、90個邊和60個頂點。其每個面都是與施萊夫利符號為 {9/4} 的九角星相近的形狀[7]。


20個與施萊夫利符號為 {9/4}
的九角星形狀相近的面
將其中一個以黃色表示
完全星形二十面體中九角星面的形狀

作為一個簡單多面體

簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體的另一個面相交的多面體。若完全星形二十面體要成為一個簡單多面體，則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，並將原本的九角星面分割成9個三角形面。這樣的多面體共有180個面、270,條邊和92個頂點，且歐拉示性數為2。[8]

其92個頂點分別位於3個同心的球面上。最內層有20個頂點，來自一個正十二面體；中間那層有12頂點，來自一個正二十面體；最外層的60個頂點來自一個不均勻的截角二十面體。這三層的半徑比為：[3]

凸包和其他層的頂點
內層 中層 外層 全部
20個頂點 12個頂點 60個頂點 92個頂點

正十二面體
正二十面體
不均勻截角二十面體
完全星形二十面體

參見

參考文獻
  1. Brückner, Max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Leipzig: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1. （德文） WorldCat 页面存档备份，存于 English: Polygons and Polyhedra: Theory and History. Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. High res. scans. 页面存档备份，存于
  2. A. H. Wheeler, Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra, Proc. Internat. Math. Congress, Toronto, 1924, Vol. 1, pp 701–708
  3. Wenninger, Magnus J., Polyhedron models; Cambridge University Press, 1st Edn (1983), Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5. (Model 42, p 65, Final stellation of the icosahedron)
  4. Cromwell, Peter R. . Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-66405-5.
  5. Jenkins, Gerald, and Magdalen Bear. The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6.
  1. Coxeter et al. (1938), pp 30–31
  2. Wenninger, Polyhedron Models, p. 65.
  3. 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
  4. Eric W. Weisstein. . 密西根州立大學圖書館. 1999-05-25 [2016-09-02]. （原始内容存档于2013-06-22）.
  5. Wenninger, Magnus. . Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
  6. H·S·M·考克斯特. . H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
  7. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F., 3rd, Tarquin, 1999, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 676126 p. 259 (1st Edn University of Toronto (1938))
  8. Paul Houle. . polyhedra.org. （原始内容存档于2008-10-07）.

外部連結
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