截角二十面體

在幾何學中，截角二十面體是一種半正多面體，由於其具有點可遞的性質，因此屬於阿基米德立體[1]。它由12個正五邊形面、20個正六邊形面、60個頂點和90個邊構成。由於包含了正五邊形和六邊形面因此也是一種戈德堡多面体，在戈德堡符號中可用GP_V(1,1) 或 {5+,3}_1,1表示[2]。而1983年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號W₉[13]。

截角二十面體與正二十面體和正十二面體的關聯。

截角二十面體共有90條棱和60個頂點[14]，正二十面體是由20個正三角形組成。把正二十面體的棱做三等分，則20個正三角形的面就得到了20個正六邊形；同時把正二十面體的所有12個頂點削去[15]，則每個頂點由上述三等分點形成的正五邊形代替[12][16]。這就形成了截角二十面體[17]。由於正二十面體有20個正三角形的面，30條棱。每條棱做三等分則有2個分割點，由此削去正二十面體所有12個頂點後得到的截角二十面體有60個頂點。[12]

截角二十面體由32個面組成，在這32個面中，共包含了12個正五邊形面和20個正六邊形面，其頂角皆為三面角[18]，由2個六邊形和一個五邊形組成，換句話說，即每個頂點都是2個六邊形和一個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以計為5.6.6[19]。另外，在這個結構中，五邊形面彼此不相鄰。[20]

頂點佈局5.6.6

截角二十面體已知可以透過切去正二十面體的十二個頂點來構造，並且確保切出來的立體都是等邊多面體。

從截角二十面體的展開圖可以看出構成截角二十面體表面的所有形狀，只要將這些形狀的面積加總即可求得截角二十面體的表面積。

若以a表示棱長，則截角二十面體的外接球半徑為[21]：

${\displaystyle {a \over 2}{\sqrt {9\phi +10}}\approx 2.4780~a}$

關於截角二十面體的體積，由於截角二十面體已知可以透過切去正二十面體的十二個頂點來構造，並且已知目標立體為等邊多面體，因此可以知道被切下來的12個錐體是等邊正五角錐。所以截角二十面體的體積可以透過正二十面體的體積減去12個錐體是等邊正五角錐來計算[21]，其結果為[22]：

體積：${\displaystyle V={1 \over 4}(125+43{\sqrt {5}})~a^{3}\approx 55.2877~a^{3}}$

而關於截角二十面體的表面積，已知截角二十面體由12個正五邊形和20正六邊形所組成，因此截角二十面體的表面積可以透過12倍正五邊形面積與20倍正六邊形面積的和來計算[21]，其結果為[22]：

表面積：${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}\\&=3(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})~a^{2}\approx 72.6073~a^{2}\end{aligned}}}$

邊長為2，幾何中心位於原點的截角二十面體，其頂點的坐標為：[23]

(0, ±1, ±3φ)

(±1, ±(2 + φ), ±2φ)

(±2, ±(1 + 2φ), ±φ)

其中φ = (1+√5)/2，黃金分割數；此時稜長為 2，外接球半徑為 ${\displaystyle {\sqrt {9\phi +10}}}$。[24]

截角二十面體有兩種二面角，一個為兩個六邊形的交角，另一個為五邊形與六邊形的交角[22]：

其中，兩個六邊形的交角為:

${\displaystyle \arccos {\frac {-{\sqrt {5}}}{3}}\approx 138.18968510^{\circ }}$[22]

其中，五邊形與六邊形的交角為:

${\displaystyle \arccos {\left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}\approx 142.62263185^{\circ }}$[22]

另外，其兩個六邊形的共線與五邊形的交角為:

${\displaystyle \arccos {\left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}\approx 148.2825255^{\circ }}$

以及五邊形和六邊形的共線與鄰近的六邊形的交角為144°。

截角二十面體的爆縮透鏡。

在化學中也有一些分子的形狀為截角二十面體，如富勒烯C₆₀[8][28]，這種分子於1985年被發現，其直徑約為0.71奈米[29]，由60個碳原子組成，且每個碳原子正好位於截角二十面體的頂點上[30]。這種形狀也用於核子武器中，聚焦雷管的爆炸衝擊波用的爆縮透鏡，並配置於小工具和胖子等原子彈中[31][32]。 截角二十面體的一種變體也曾用於由聚合材料製成的窩狀車輪胎框的基礎，其使用了富勒的網格球頂的部分幾何結構（截角二十面體的局部），其被龐蒂克汽車部門在1971年至1976年間用於Trans Am和Grand Prix中[33]。此外，由於這個幾何結構與建築學家巴克明斯特·富勒設計的1967年世界博覽會美國館網格球頂時分相似，為了表達對他的敬意，有時會將其稱為「巴克球」（buckyball）[34]。

截角二十面體的球面鑲嵌被運用在足球和手球的形狀上[16]，大致上使得截角二十面體被認為是在日常生活中最著名的球面多面體之例子[3]。這些球類運動所使用的球體皆包含了相同的正五邊形和正六邊形圖案，但由於運動用球內部通常會充氣，使得空氣的壓力令球具有彈性、更加接近球體。足球的模樣自1970年墨西哥世界杯之后为截角二十面體。[3][35]

截角二十面體出現於列奥纳多·达·芬奇繪製於卢卡·帕西奥利的著作《Divina proportione》中的插圖。[36]

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  截角二十面體（左）與足球
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  富勒烯 C₆₀ 分子模型
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  外型為截角二十面體的氣象雷達
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  用6061-T6鋁加工而成的截角二十面體
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  喬治·W·哈特的截角二十面體木頭模型。
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  與截角二十面體對應的球面鑲嵌（截角五階三角形鑲嵌）設計的閃光球