定向 (向量空間)

上面定义的定向概念对零维向量空间只有一个定向（因为空矩阵的行列式是 1）。但是对一个点规定不同的定向可能是有用的（例如，定向一维流形的边界）。定向的另一个与维数无关的定义如下：V 的一个定向是从 V 的有序基集合到集合 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ 的映射，使得在正行列式基变更下不变而在负行列式基变更下给变符号（关于同态 ${\displaystyle GL_{n}\to \pm 1}$ 等变）。零维向量空间的有序基有一个元素（空集），从而从这个集合到 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ 有两个映射。

一个微妙之处在于零维向量空间是自然定向的，所以我们可以谈论一个定向是正的（与典范定向相同）或负的（不同）。一个应用是将微积分基本定理理解为斯托克斯定理的一个特例。

对此的两种看法是：

• 零维向量空间是一个点，存在惟一映射从一个点到一个点，所以每个零维向量空间自然与 ${\displaystyle R^{0}}$ 等价，从而是定向的。
• 一个向量空间的 0 次外幂是底域 ${\displaystyle K}$，在这里是 ${\displaystyle R^{1}}$，它有一个定向（由标准基给出）。

对任意 n-维实向量空间 V，我们可构造 V 的 k-次外幂，记作 Λ^kV。这是一个维数为 (n,k) 的向量空间。故向量空间 ΛⁿV （称为最高外幂）的维数为 1。即 ΛⁿV 就是实直线。这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的。一个定向就是这样一个选取。任何非零线性形式 ω on ΛⁿV 决定了 V 的一个定向，当 ω(x) > 0 时规定 x 是正定向的。为了与基本的看法联系起来，我们说正定向基是那些 ω 取正数的（因为 ω 是一个 n-形式，我们可在 n 个向量的有序基上取值，给出 R 中一个元素）。形式 ω 称为一个定向形式（）。如果 {e_i} 是 V 先给定的基而 {e_i^*} 是对偶基，则给出标准定向的定向形式是 e₁^*∧e₂^*∧…∧e_n^*。

这与行列式观点的联系是：一个自同构 ${\displaystyle T\colon V\to V}$ 的行列式可解释为在最高外幂上的诱导作用。

设 B 是 V 的所有有序基集合。则一般线性群 GL(V) 自由传递作用在 B 上（花哨的语言，B 是一个 GL(V)-torsor）。这意味着作为一个流形 B （非典范地）同构于 GL(V)。注意到群 GL(V) 不是连通的，而有两个连通分支，对于于变换的行列式的正负号（除了 GL₀，这是平凡群故只有一个连通分支；这对应于一个零维向量空间的典范定向）。GL(V) 的单位分支记作 GL⁺(V)，由所有正行列式的变换组成。GL⁺(V) 在 B 上的作用不是传递的：有两个轨道，分别对应于 B 的连通分支。这两个轨道恰是上面所说的等价类。因为 B 没有特定的元素（即一个特别的基），故没有自然选取哪个分支是正的。将其与 GL(V) 对比，后者有一个特别的分支：单位分支。B 与 GL(V) 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基，从而决定了一个定向。

更形式地：${\displaystyle \pi _{0}(GL(V))=(GL(V)/GL^{+}(V)=\{\pm 1\}}$，${\displaystyle V}$ 中 n-标架的斯蒂弗尔流形（Stiefel manifold）是一个 ${\displaystyle GL(V)}$-torsor，所以 ${\displaystyle V_{n}(V)/GL^{+}(V)}$ 是 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ 上一个 torsor，即它是两个点，选取其中一个便是一个定向。