射影定理

在上面的 ΔABC 中，我們有：

${\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC}$

考慮三角形的面積，即可容易地證明。

勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。[2]這個定理指出：

${\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}$

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$

將兩條等式相加，則可得：

${\displaystyle {AC}^{2}+{BC}^{2}=AD\cdot AB+BD\cdot AB}$

由於 AD + BD = AB，因此可得：

${\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}$

證明完畢。

幾何平均定理，是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。[3]這個定理指出：

${\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}$

也就是說，CD 是 AD 和 BD 的幾何平均。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角，則這是一個三直角四面體。

射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設三直角四面體 ABCD 中，∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又設 D 在斜面 ΔABC 的正投影為 E。我們則有：

${\displaystyle [\triangle ADB]^{2}=[\triangle AEB]\cdot [\triangle ABC]}$

${\displaystyle [\triangle ADC]^{2}=[\triangle AEC]\cdot [\triangle ABC]}$

${\displaystyle [\triangle BDC]^{2}=[\triangle BEC]\cdot [\triangle ABC]}$

其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面積。

把以上三條等式相加，則可得德古阿定理：

${\displaystyle [\triangle ABC]^{2}=[\triangle ADB]^{2}+[\triangle ADC]^{2}+[\triangle BDC]^{2}}$

德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。[5]

在四面體 ABCD 中，設 ΔABC 為底面。又設 D 在 ΔABC 的正投影為 E。我們則有：

${\displaystyle AE=AD\cos \alpha }$

${\displaystyle BE=BD\cos \beta }$

${\displaystyle CE=CD\cos \gamma }$

其中 α 、β 及 γ 分別是 AD 、BD 及 CD 與底面 ΔABC 的夾角。

另外亦有：

${\displaystyle [\triangle ABE]=[\triangle ABD]\cos \theta }$

${\displaystyle [\triangle ACE]=[\triangle ACD]\cos \phi }$

${\displaystyle [\triangle BCE]=[\triangle BCD]\cos \psi }$

其中 θ 、ϕ 及 ψ 分別是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 與底面 ΔABC 的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

${\displaystyle [\triangle ABC]=[\triangle ABD]\cos \theta +[\triangle ACD]\cos \phi +[\triangle BCD]\cos \psi }$

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

更進一步地說，面積為 S 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 S_proj，都可用餘弦求得：

${\displaystyle S_{\mathrm {proj} }=S\cos \theta }$

其中 θ 是該平面圖形與底面的夾角。