四面體

任意四面体的体积公式可由棱锥的体积公式给出：

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,}$

在这里A₀是底面面积，h是从底面到顶点的高。这个体积公式对四个任意的底面的选择都成立，因此我们可以推断出对同一个四面体，其一个面上的高与这面的面积成反比。

对于一个四个顶点分别为 a = (a₁, a₂, a₃)、 b = (b₁, b₂, b₃)、 c = (c₁, c₂, c₃)、 d = (d₁, d₂, d₃) 的四面体，其体积公式为(1/6)·|(a − d, b − d, c − d)|一公式也可以用点积和叉积写为：

${\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot [(\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} )]|}{6}}.}$

如果建立恰当的坐标系统，使得原点与d顶点重合，即d=0的话，该式可以简化为：

${\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},}$

这里a、b、c代表着三条交于一顶点的边，并且我们发现a · (b × c)是标量三重积。将这个公式与计算平行六面体体积的公式对比，我们发现正四面体的体积等于任何与其共三条交于一顶点的边的平行六面体体积的六分之一。

这个三重积可以用下列行列式表示：

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}}$ 或者 ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{vmatrix}}}$ 这里像 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\,}$ 可以被表示为横或纵向量。

因此

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$ 这里 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }}$ 等。

这样，我们能给出：

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$

这里α、β、γ是以d为顶点的平面角。角α是连接顶点d和顶点b、c的棱之间的夹角，而β是d到a、c棱的夹角，γ是d到a、b棱的夹角。

如果我们已知四面体四个顶点之间相互的距离，那么其体积可用Cayley–Menger行列式表示：

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$

这里下标${\displaystyle i,\,j\in \{1,\,2,\,3,\,4\}}$代表顶点{a, b, c, d}，而${\displaystyle \scriptstyle d_{ij}}$是两两顶点之间的距离，亦即连接着两顶点之间棱的长度。如果行列式是零或是负数这意味着我们不可能用该给定的4个长度来构建一个四面体。这个公式，亦被称作塔塔利亚公式，被15世纪的画家皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡认为是极其重要的，它被看作是1世纪的三角形面积海伦公式的三维类比。[1]

如果U、V、W、u、v、w是四面体的六条边长（U、V、W构成四面体的其中一个三角形面，而u是与U相对的棱，v是与V相对的棱，w是与W相对的棱），则四面体体积[2]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

这里

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

四面体两条相对的边处于两条互相歪斜（在三维空间中既不相交也不平行，等价于异面）的直线上，所以四面体相对边之间的距离就被定义为其所在互相歪斜的直线之间的距离。设d是四面体相对的边a 和 b − c之间的距离，则四面体的另一个体积公式是：

${\displaystyle V={\frac {d|[\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} ]|}{6}}.}$

如果OABC四点能够构成一个四面体，并且O点位于我们所定的空间直角坐标系的原点，而向量a、b、c代表着顶点A、B、C相对于O的位置，则四面体内切圆半径可表示为：（在以下的公式中，像a²这样的向量的平方代表着数量积a·a，b²和c²也是这样）

${\displaystyle r={\frac {6V}{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}\,}$

外接圆半径可表示为：

${\displaystyle R={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{12V}}\,}$

于是我们可知十二点圆半径为：

${\displaystyle r_{T}={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{36V}}\,}$

这里V是四面体的体积：

${\displaystyle 6V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.\,}$

四面体的各种中心的位置向量是： 形心：

${\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} }{4}}.\,}$

内心：

${\displaystyle \mathbf {I} ={\frac {|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\,\mathbf {a} +|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |\,\mathbf {b} +|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |\,\mathbf {c} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} +\mathbf {c} \times \mathbf {a} +\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}.\,}$

外心：

${\displaystyle \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,}$

蒙日点：

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,}$

欧拉线上的中心之间的关系是：

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {M} +{\frac {1}{2}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,}$

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {M} +{\frac {1}{3}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,}$

这里T是十二点心。 在这里，我们还有：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {b^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {c^{2}} }{2}}\,}$

和：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )}{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )}{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )}{2}}.\,}$

以下列表示出了对应四面体的图案，相同颜色的棱在等距同构对称变换中是等价的，而灰色则代表着条边是不同于任何另外一边的。

四面体名称				边 等价 图案	描述
对称性
弗氏	考式	軌式	阶
正四面体					四个等边三角形，形成对称群Td，与对称群S4同构。
Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
正三棱锥					一个等边三角形底面及三个等腰三角形侧面，有6个等距同构的对称变换，对应其底面的6个对称变换。对于所有可能的顶点排布，t这6个对称变换是：单位元 1、(123)、(132)、(12)、(13)和(23)，形成对称群C3v，与对称群S3同构。
C3v C3	[3] [3]+	*33 33	6 3
複正方鍥形體 等腰四面体					四个全等的等腰三角形，具有8个等距同构的对称变换。如果边(1,2)和(3,4)和另外4条边是不同颜色的，那么这8个对称变换是：单位元1、镜面反射(12)和 (34)、和(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)的180°旋转以及非严格的(1234)和(1432)90°旋转。这些一起形成了对称群D2d.
D2d S4	[2+,4] [2+,4+]	2*2 2×	8 4
複斜方鍥形體 非等腰四面体					四个全等的任意三角形，具有4个等距同构的对称变换。这些变换是：1和(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)的180°旋转。这形成了柯恩四面体群V4或者Z22，表现为点群D2。
D2	[2,2]+	222	4
二面体锲形体					两组全等的等腰三角形。在此对称性下，对边(1,2)和(3,4)是垂直的，但是“颜色”不同，4个等距同构的对称变换是：1、镜面反射(12)和(34)以及(12)(34)的180°旋转。对称群是C2v，与柯恩四面体群V4同构
C2v =D1h	[2]	*22	4
单锲形体					两个不同的等腰三角形共用一个底边。它有两对相等的边(1,3)和(1,4)、(2,3)和(2,4)，除此之外再没有相等的边。唯一两个等距同构的对称变换是：1和镜面反射(34)，对应对称群 Cs又同构于循环群Z2。
Cs =C1h =C1v	[ ]	*	2
半转四面体					两组全等的任意三角形。它有两组相等的边(1,3)和(2,4)、(1,4)和(2,3)，除此之外再没有相等的边。唯一两个等距同构的对称变换是：1和旋转(12)(34)， 对应群C2，同构于循环群Z2。
C2 =D1	[2]+	22	2
任意四面体					没有相等的边，有4个不相等的任意三角形面，所以只有单位元变换是等距同构的，对称群是平凡群。
C1	[ ]+	1	1

通过通常的三角形正弦定理，我们可以得到一个自然的推论，即在以O、A、B、C为顶点的四面体中，有

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$

这个等式的两边可以被看作分别是顺时针取向的角的正弦乘积和逆时针取向角的正弦乘积。

通过将不同的顶点置于上式中O点的位置，我们可以得到4个这样的等式，但实际上，只有最多3个等式是独立的，因为我们可以将这3个等式的“顺时针边”和“逆时针边”分别相乘，得到一个新的等式，再消去相同的因式，这样就能够通过这3个等式得到第4个等式。

三个角能属于同一个三角形当且仅当这三个角之和为180°（π弧度）。那么，12个角要满足什么充分必要条件，才能使其为一个四面体表面的12个角呢？首先，我们知道，四面体4个面每个面上的3个角之和都要为180°。因为我们对于这12个角有4个这样的限制，四面体12个角的取值自由度（统计学）从12降到了8。进一步地，四面体角的4个正弦定理又降低了自由度，但不是降到4而是降到了5，因为第4个四面体正弦定理并不是相对于前3个独立的。因此，我们只要确定了四面体12个表面角中的任意5个角，则这个四面体就被唯一确定了，因此，我们可以用五维空间中的点来描述所有的四面体，也就是说，所有形状四面体构成的空间是五维的。

在幾何學中，三角錐是一種底面為三角形的錐體，這種錐體所有形式都與四面體有相同的拓樸結構。

三角錐也可以算是一種詹森多面體，但由於底面為正三角形且側面也為正三角形的三角錐是一種正多面體，因此第一種詹森多面體是從四角錐開始。

八面體半形

八面體半形也是一種四面體，可透過將正八面體對映映射後而獲得，它有著正八面體一半的面。 它也可以視為沒有底面的正四角錐，算是一種非嚴格的錐體。

四面形
(點選觀看旋轉模型)
類別	多面形、均勻多面體、球面鑲嵌
面	4
邊	4
頂點	2
歐拉特徵數	F=4, E=4, V=2 (χ=2)
面的種類	二角形
考克斯特符號
施萊夫利符號	{2,4}
威佐夫符號	2 2
對稱群	D4h, [2,4], (*224), order 16
對偶	四邊形二面體
旋轉對稱群	D4, [2,4]+, (224), order 16

在幾何學中，四面形是一種由4個月牙形或球弓形組成的球面鑲嵌，並且使得每一個月牙形或球弓形共用相同的兩個頂點。其在施萊夫利符號中用 {2, 4} 表示。其亦可以視為由球面正二角形組成的球面鑲嵌圖，又稱為四階二角形鑲嵌或四階二邊形鑲嵌。