峰度
定義
母體峰態係數定義為:
在更通常的情況下,峰度被定義為四階累積量除以二階累積量的平方,它等於四階中心矩除以概率分布方差的平方再減去3:
這也被稱為超值峰度(excess kurtosis)。「減3」是為了讓正態分布的峰度為0。
假定Y為n個獨立變量之和,且這些變量和X具有相同的分布,那麽:Kurt[Y] = Kurt[X] / n, 但如果峰度被定義為:μ4 / σ4,公式可變得更加複雜。
更一般地說,假定X1, ..., Xn 為方差相等的獨立隨機變量,那麼:
而定義中如果不包含「減3」就無法成立。
如果超值峰度為正,稱為高狹峰(leptokurtic)。如果超值峰度為負,稱為低闊峰(platykurtic)。
樣本峰度
對於具有n個值的樣本,樣本峰度為:
其中m4是四階樣本中心矩,m2是二階中心矩(即使樣本方差),xi是第ith個值,是樣本平均值。注意此处计算方差的时候除数是N,而不是单独计算样本方差的(N-1)。
有時候也使用公式:
- ,
其中,n為樣本大小,D為事先計算的方差,xi為第i個測量值,為事先計算的算術平均數。
在一些统计软件中,其公式有所差别。如EXCEL,计算样本的峰度公式如下:
參考資料
- Joanes, D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189. doi:10.1111/1467-9884.00122
- Are the Skewness and Kurtosis Useful Statistics?
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