幂平均
性质
幂平均不等式的证明
不同符号的不等式之等价
假设指数 p 与 q 的幂平均间有不等式:
则
- .
我们在两边取倒数(正实数上的严格递减函数,不等号反向):
- ,
我们得到了关于 -p 与 -q 的幂平均不等式,同样的推理可以倒推,从而证明了两个不等式等价,这在后面的证明中将用到。
几何平均
对任何 q,指数为 q 的幂平均与几何平均之间的不等式为:
(第一个不等式对正数 q,第二个对负数)
我们在两边取 q 次幂:
两种情形我们都得到关于 的加权算术几何平均不等式,这可以用琴生不等式证明,利用对数函数是凸函数的事实:
两边取指数函数(严格递增),我们得到了不等式:
从而对任何正数 q,下式成立:
因为此不等式对任何 q 成立,足够小同样成立,可以将证明(利用洛必达法则),当 q 趋于 0 时,左右两边趋于几何平均,q 趋于 0 时的幂平均是几何平均:
幂平均不等式
我们将证明对任何 p<q 如下不等式成立:
如果 p 是负数且 q 是正数,不等式等价于上面已证过的
对正数 p 与 q 的证明如下:定义函数 f 是一个幂函数,所以有二阶导数:,在 f 的定义域内严格正,因为 q > p,从而我们知道 f 是凸的。
利用这一点以及琴生不等式,我们得到:
两边取 1/q 次幂(递增函数,因 1/q 为正数)我们得到了欲证之不等式:
最后使用先前证过的等价性,我们得到了关于负数 p 与 q 的不等式,证毕。
最小值与最大值
此段最后将证明当指数 p 趋于 与 ,其幂平均的幂平均分别趋于最小值与最大值。定义指数为 与 的幂平均为最大值与最小值。从而应该有:
对最大值证明如下:不失一般性假设序列 xi 非减且全不为零。则不等式等价于:
两边取 q 次幂,我们得到不等式(取决于 q 的符号):
若 q>0 为 ≤, 若 q<0 为 ≥。
两边同时减去 我们得到:
除以 :
1 - w1 不为零,从而:
减去 x1q 剩下:
这是显然的,因为 x1 大于或等于任何 xi,从而
对最小值证明几乎相同,只不过将 x1、w1 换作 xn、wn,证毕。
另一方面,当 q 大于零时,由简单的推理以及上面的不等式有
令 趋于 时,左边同样趋于 ,由夹逼定理知中间项幂平均趋于 。最小值的证明完全类似。
广义 f-平均
幂平均可以推广到更一般的广义 f-平均:
例如这包括了几何平均而勿需使用极限。幂平均是由 得到的。