洛必达法则
洛必達法則(法語:,英語:)是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名,但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利[1]所發現。
系列條目 | |||||
微积分学 | |||||
---|---|---|---|---|---|
![]() | |||||
| |||||
基础概念(含极限论和级数论)
|
|||||
一元微分
|
|||||
多元微积分
|
|||||
敘述
洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令(擴展實數),兩函數在以為端點的開區間可微,,並且。
如果 或 其中一者成立,則稱欲求的極限為未定式。
此時洛必达法则表明:
。
對於不符合上述分數形式的未定式,可以通過運算轉為分數形式,再以本法則求其值。以下列出數例:
欲求的極限 | 條件 | 轉換為分數形式的方法 |
---|---|---|
(1) | 或 | |
(2) | ||
(3) | 或 |
|
(4) |
注意:不能在数列形式下直接用洛必達法則,因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。
證明
下面仅给出 的证明。
设两函數及在a 點附近连续可导,及都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,
为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为
由極限的定义,对任何一个,都存在,使得对任意的,都有:
而根据柯西中值定理,对任意的,都存在一个介于和之间的数,使得:
于是,
因此,
- 极限
例子
参阅
注释与参考
注释
参考文献
- Eli Maor. . Princeton University Press. : p.116. ISBN 0-691-05854-7.
- https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.