截對角三方偏方面體

此多面體可透過將一個立方體，或是三方偏方面體，或是一個菱面體，或一個平行六面體中一對處於對角位置的頂點切除，在立方體或著三方偏方面體的例子中，由於截面是平行的，以及原像的高度對稱，因此具有高度的旋轉對稱。

《忧郁 I》

這個多面體有時候也稱為杜勒立體或杜勒多面體（Dürer's solid），因為它出現於阿爾布雷希特·杜勒的 1514年畫像《忧郁 I》。這圖像亦稱杜勒圖。

關於杜勒所描述的立體形狀是一些學術辯論的主題。[註 1] 依照Lynch (1982)，他假設該立體是一個立方體的截角的誤繪，該點子源於Strauss (1972)； 然而大部分的來源資料同意其為菱面體的截角。 儘管有著這樣的同意，而這個菱面體在幾何學中確切的形狀是許多矛盾的理論的主題。

• Richter (1957)聲稱杜勒多面體的原像菱面體中的菱形面的兩條對角線的比是 5:6，而這個數值所產生出來的菱形，其銳角的角度大約為80°[1]。
• Schröder (1980)以及Lynch (1982)在1980年代時認為該菱形對角線長的比應該是${\displaystyle {\sqrt {3}}:2}$而此數值產生出來的菱形，其銳角的角度會變成大約 82°[2][3]。
• MacGillavry (1981)時，測量了該圖形的特徵並測量出該菱形的銳角大約為 79°。他以及一位後來的另一位作者，沃爾夫·馮·恩格爾哈特 （參見 Hideko (2009)）認為該角度的形成取決於自然形成的方解石結晶[4]。
• Schreiber (1999)認為根據杜勒的著作，所有的頂點應該是坐落在同一個球面上， 並更進一步的聲明該菱形的銳角為 72°[5]。 Hideko (2009)列舉了其他幾位同樣贊同該菱形銳角為72°的學者，從1955年的保羅·格罗津斯基（Paul Grodzinski）開始。他認為，這種理論的動機少於實際繪圖的分析，而比較傾向關於五邊形以及黃金比例的審美原則[3]。
• Weitzel (2004) 分析了對於同一個立體的1510年的草圖， 從中他確認了薛伯的假設，即該立體有一個 外接球 但菱形的銳角角度會是大約79.5°[2]。
• Hideko (2009)認為該形狀是為了描述一個著名的幾何學問題，倍立方體的解答，而杜勒也在1525年中提到。 他隨後總結出（在兩個頂點截去前）該立體是一個立方體沿著對角線伸長而成的。 更具體地說，他認為杜勒繪製了一個實際的立方體，長對角線平行於圖形平面，然後在長對角線的方向上以因為某種因素而放大他的繪畫：結果會和他繪製一個被延長的圖形相同。放大的因素是因為關於倍立方後的體積是原立方體的 2^1/3 ≈ 1.253，但秀子導出不同的，為了適應圖紙的放大因素，1.277，以一個更複雜的方式[3]。
• Futamura，Frantz & Crannell (2014)將所提出的解決方案分類為該問題，透過兩個參數：銳角以及切面，稱為交比。 他們估算這個交比很接近麥克·蓋勒艾瑞的，而且具有一個接近 黃金比例的數值。 基於這一點，他們認為銳角是 ${\displaystyle 2\arctan(\varphi /2)\approx 78^{\circ }}$而交比是精確的 ${\displaystyle \varphi }$[6]。

• 倒角四面體：另一個將立方體的頂點交錯截角的多面體。

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• 如何製作一個杜勒多面體 - DUPLICON （德語）
• 開放原始碼的杜勒多面體三維模型