最大似然估计

• 这裡的似然函数是指${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$不变时，关于${\displaystyle \theta }$的一个函数。
• 最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样${\displaystyle x_{1}={\mbox{H}},x_{2}={\mbox{T}},\ldots ,x_{80}={\mbox{T}}}$并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为${\displaystyle p}$，抛出一个反面的概率记为${\displaystyle 1-p}$（因此，这裡的${\displaystyle p}$即相当于上边的${\displaystyle \theta }$）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为${\displaystyle p=1/3}$, ${\displaystyle p=1/2}$, ${\displaystyle p=2/3}$.这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {L} (p=1/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/3)&=&{80 \choose 49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}\approx 0.000\\&&\\\mathbb {L} (p=1/2\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/2)&=&{80 \choose 49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}\approx 0.012\\&&\\\mathbb {L} (p=2/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=2/3)&=&{80 \choose 49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}\approx 0.054\\\end{matrix}}}$

我们可以看到当${\displaystyle {\widehat {p}}=2/3}$时，似然函数取得最大值。
顯然地，這硬幣的公平性和那種拋出後正面的機率是2/3的硬幣是最接近的。这就是${\displaystyle p}$的最大似然估计。

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$中的任何一个${\displaystyle p}$， 都有一个抛出正面概率为${\displaystyle p}$的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{L}}(\theta )&=&f_{D}({\mbox{H=49,T=80-49}}\mid p)={80 \choose 49}p^{49}(1-p)^{31}\\\end{matrix}}}$

其中${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. 我们可以使用微分法来求極值。方程两边同时对${\displaystyle p}$取微分，并使其为零。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{80 \choose 49}{\frac {d}{dp}}\left(p^{49}(1-p)^{31}\right)\\&&\\&\propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\\&&\\&=&p^{48}(1-p)^{30}\left[49(1-p)-31p\right]\\\end{matrix}}}$

在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle p=1}$，以及${\displaystyle p=49/80}$.使可能性最大的解显然是${\displaystyle p=49/80}$（因为${\displaystyle p=0}$和${\displaystyle p=1}$这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为${\displaystyle {\widehat {p}}=49/80}$.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母${\displaystyle t}$代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母${\displaystyle n}$代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {t}{n}}}$

对于任何成功次数为${\displaystyle t}$，试验总数为${\displaystyle n}$的伯努利试验。

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

现在有${\displaystyle n}$个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其${\displaystyle n}$个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

或：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$,

这个分布有两个参数：${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}$.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性${\displaystyle {\mbox{L}}(\mu ,\sigma )=f(x_{1},,\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})}$在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$.

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凹函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {\partial }{\partial \mu }}\log \left(\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&=&{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\log \left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=&0-{\frac {-2n({\bar {x}}-\mu )}{2\sigma ^{2}}}\\\end{matrix}}}$

这个方程的解是${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}$.这的确是这个函数的最大值，因为它是${\displaystyle \mu }$里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对${\displaystyle \sigma }$求导，并使其为零。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\log \left(\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&=&{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {n}{2}}\log \left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=&-{\frac {n}{\sigma }}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{\sigma ^{3}}}\\\end{matrix}}}$

这个方程的解是${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\widehat {\mu }})^{2}/n}$.

因此，其关于${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$的最大似然估计为：

${\displaystyle {\widehat {\theta }}=({\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})=({\bar {x}},\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}/n)}$.

如果${\displaystyle {\hat {\theta }}}$是${\displaystyle \theta }$的一个最大似然估计，那么${\displaystyle \alpha =g(\theta )}$的最大似然估计是${\displaystyle {\hat {\alpha }}=g({\hat {\theta }})}$。函数g无需是一个双射。[1]

最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。

最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话，那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n，尽管其期望值的只有${\displaystyle (n+1)/2}$.为了估计出最高的n值，我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。