极值定理

假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界。那么，根据实数的阿基米德公理，对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个x_n，使得f(x_n) > n。这便定义了一个序列{x_n}。由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{x_n}的一个收敛的子序列{${\displaystyle x_{n_{k}}}$}。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。因为f在x处连续，我们知道{f(${\displaystyle x_{n_{k}}}$)}收敛于实数f(x)。但对于所有的k，都有f(${\displaystyle x_{n_{k}}}$) > n_k ≥ k，这意味着{f(${\displaystyle x_{n_{k}}}$)}发散于无穷大。得出矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。证毕。

我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f(d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是f的上界。因此，存在[a,b]内的d_n，使得M – 1/n < f(d_n)。这便定义了一个序列{d_n}。由于M是f的一个上界，我们便有M – 1/n < f(d_n) ≤ M，对于所有的n。因此，序列{f(d_n)}收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列{${\displaystyle d_{n_{k}}}$}，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，d位于[a,b]内。因为f在d处连续，所以序列{f(${\displaystyle d_{n_{k}}}$)}收敛于f(d)。但{f(${\displaystyle d_{n_{k}}}$)}是{f(d_n)}的一个子序列，收敛于M，因此M = f(d)。所以，f在d处取得最小上界M。证毕。