模糊集

设 ${\displaystyle A}$为 ${\displaystyle U}$上的模糊集（记作 ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)}$），任取 ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$，则

${\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}}$，

称${\displaystyle A_{\lambda }}$为${\displaystyle A}$的${\displaystyle \lambda }$截集，而${\displaystyle \lambda }$称为阈值或置信水平。将上式中的${\displaystyle \geq }$替换为${\displaystyle >}$，记为${\displaystyle A_{S\lambda }}$，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然${\displaystyle A_{1}}$为${\displaystyle A}$的核，即${\displaystyle \ker A}$；如果${\displaystyle \ker A\neq \varnothing }$，则称${\displaystyle A}$为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：
设${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$，${\displaystyle A\in F(U)}$，则${\displaystyle \forall u\in U}$，${\displaystyle \lambda }$与${\displaystyle A}$的截积（或称为${\displaystyle \lambda }$截集的数乘，记为${\displaystyle \lambda A}$）定义为：

${\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}$

根据定义，截积仍是${\displaystyle U}$上的模糊集合。

分解定理：
设${\displaystyle A\in F(U)}$，则

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}$

即任一模糊集${\displaystyle A}$都可以表达为一族简单模糊集${\displaystyle \left\{\lambda a_{\lambda }\right\}}$的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：
设${\displaystyle H}$为${\displaystyle U}$上的任何一个集合套，则

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}$

是${\displaystyle U}$上的一个模糊集，且${\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]}$，有
（1）${\displaystyle A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )}$
（2）${\displaystyle A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )}$
即任一集合套都能拼成一个模糊集。

${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是輿集${\displaystyle \mathrm {X} }$的一種。

用${\displaystyle g}$函數定義${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①${\displaystyle g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1}$

---${\displaystyle g}$函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。${\displaystyle g}$函數代${\displaystyle X}$表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$和${\displaystyle A\subseteq B}$, 則${\displaystyle g(A)\leq g(B)}$.

---${\displaystyle A,B}$是屬於${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$的一部分，${\displaystyle A}$在${\displaystyle B}$裡面也可能跟${\displaystyle B}$一樣大，則${\displaystyle g(A)\leq g(B)}$

③If ${\displaystyle A_{n}}$∈${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, ${\displaystyle A_{1}}$⊆${\displaystyle A_{2}}$⊆…,then ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})}$

---當${\displaystyle A_{n}}$屬於${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$同時${\displaystyle A_{1}}$包含於${\displaystyle A_{2}\subseteq \ldots }$，則將${\displaystyle A_{n}}$代入${\displaystyle g}$函數趨小所得的值等同於先趨小${\displaystyle A_{n}}$再代入${\displaystyle g}$函數所求得的值。

• Zadeh 算子，${\displaystyle \max }$即为并，${\displaystyle \min }$即为交

${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}}$

• 代数算子（概率和、代数积）

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}}$

• 有界算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}}$

• Einstein 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}}$

• Hamacher 算子，其中${\displaystyle \nu \in [0,+\infty )}$是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}}$

• Yager 算子，其中${\displaystyle p}$是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \lambda -\gamma }$算子，其中${\displaystyle \lambda ,\gamma \in [0,1]}$是参数

${\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}}$

• Dobois-Prade 算子，其中${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$是参数

${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}}$

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

线性补偿是指： ${\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}$[5]

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集${\displaystyle F(U)}$上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到${\displaystyle [0,1]}$区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

${\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}$

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

• 最大最小贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}$

• 算术平均最小贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}$

• 几何平均最小贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}$

• 指数贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}$