留数
在复分析中,留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。(更一般地,对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数都可以计算其留数,即便是离散点集中含有本质奇点)留数可以是很容易计算的,一旦知道了留数,就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。
定义
亚纯函数在孤立奇点的留数,通常记为或,是使在穿孔圆盘内具有解析原函数的唯一值。
另外,留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算,并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a-1。
留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。
例子
作为例子,考虑以下的路径积分:
其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。
我们来计算这个积分,不用任何标准的积分定理。现在,ez的泰勒级数是众所周知的,我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为:
我们把1/z5的项代进级数中,便得到:
现在,积分便化为更简单的形式。由于:
因此任何不是cz−1形式的项都变成了零,那么积分变为:
1/4!就是ez/z5在z = 0的留数,记为:
- 或或
留数的计算
设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |z − c| < R},f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)−1项的系数a−1。计算留数的值的方法有很多,具体采用那种方法取决于题目中的函数,以及奇点的性质。
根据柯西积分公式,我们有:
其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆,它的半径可以任意地小。
较高阶极点的极限公式
更一般地,f在z = c的留数,其中c是n阶极点,由以下公式给出:
以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点,则级数展开式更加容易一些。
无穷远点的留数
一般地,无穷远点的留数是指:
- .
如果满足下面的条件:
- ,
则可以用下面的公式计算无穷远点的留数:
- .
如果不满足,即
- ,
则无穷远点的留数为:
- .
级数方法
如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数,则留数的计算比用其它的方法要容易得多。
1. 第一个例子,计算以下函数在奇点的留数:
它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点,但如果把分母因式分解,而把函数写成:
则显然z = 0是可去奇点,因此z = 0处的留数为零。
唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为:
因此,对于g(z) = sin z和a = 1,我们有:
对于g(z) = 1/z和a = 1,我们有:
把两个级数相乘,并除以(z − 1),便得:
因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。
2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数,拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令
为一个整函数,并令
参考文献
- Ahlfors, Lars. . McGraw Hill. 1979.
- Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).