留数定理

假设${\displaystyle U}$是复平面上的一个单连通开子集，${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$是复平面上有限个点，${\displaystyle f}$是定义在${\displaystyle U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}}$的全纯函数。如果${\displaystyle \gamma }$是一条把${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个${\displaystyle a_{k}}$，并且其起点与终点重合，那么：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, a_k) = 1，因此：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

在这里，Res(f, a_k)表示f在点a_k的留数，I(γ, a_k)表示γ关于点a_k的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点a_k的次数。如果γ依逆时针方向绕着a_k移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过a_k，卷绕数就是零。

以下的积分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}$

积分路径

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}$

由于e^itz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z² + 1为零时才具有奇点。由于z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

${\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!}$	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\,\!}$
	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}{\frac {1}{z-i}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!}$

f(z)在z = i的留数是：

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}$

根据留数定理，我们有：

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}$

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

${\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}$

因此

${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}$

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

${\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}$

上述结果也可以直接由Jordan引理得到[1]，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要${\displaystyle t>0}$才能成立，所以如果${\displaystyle t<0}$就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果t > 0，那么：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}$

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}$

因此我们有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

• 留数
• 路径积分
• 莫雷拉定理
• 傅里叶变换
• 拉普拉斯变换

• Ahlfors, Lars, , McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9
• Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, , D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4
• Lindelöf, Ernst, , Editions Jacques Gabay, 1905 (1989), ISBN 2-87647-060-8

• Mathworld 页面存档备份，存于
• John H. Mathews所作的留数定理教程