绝对赋值
确切的说,绝对赋值是一个函数,是整环或域的元素的“大小”的度量。更确切地说,对整环D,一个绝对赋值| x |是从D到实数R,且满足下列条件的任何映射:
- |x| ≥ 0,
- |x| = 0 当且仅当 x = 0,
- |xy| = |x||y|,
- |x + y| ≤ |x| + |y|.
绝对赋值是Hensel引进p进数后发展出的一个概念,常用于单变量代数函数论或者类域论方面的研究。
从第二条和第三条可以看出,| 1 |=1, | -1| = 1。此外,对于任意正整数 n,
- | 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n.
绝对赋值的类型
如果|x+ y|满足更强的属性 |x+ y|≤MAX(|x|,|y|),那麽|x|被称为超度量或非阿基米德绝对赋值,否则就叫阿基米德绝对赋值。每一个整环有至少有一个绝对赋值,称为平凡赋值。这种绝对赋值是:当x= 0时|x|= 0,x≠ 0时|x|= 1,有限域只能有平凡赋值。 | x |1 < 1 当且仅当 | x |2 < 1. ,那么这两个绝对赋值相等.如果两个非平凡绝对赋值是相等的,那么一些指数e,有 | x |1e = | x |2。(请注意,不能提高绝对赋值的次幂来获得另一个不同的绝对赋值,例如对实数,一个绝对赋值平方后产生另一个不同值,这种情况就不是一个绝对赋值函数。)绝对赋值可导致到等价类来理解,换言之绝对赋值的等价类,被称为一个素点。奥斯特洛夫斯基定理指出,有理数Q中,p-adic数是非平凡绝对赋值,每一个素数p的绝对赋值是有理数Q的素点:
- q = pn(a/b), 其中a,b是不被p整除的整数。
素点的定义就来自上面普通绝对赋值和p的绝对赋值。
几何概念联系
设 是在复域的两个变量的多项式环, 为有理函数,并考虑收敛:
参数化后解析零点集为,则作为多项式环的形式幂级数环:
- 。
映射 ,则可能得在中的多项式 的限制:
逆映射也可能得到延拓(扩张):
若形式幂级数环不是多项式环产生的,则容易证明上面逆映射延拓是赋值,在几何上叫曲线(一维解析代数簇)的交点。 如:
参考
- Jacobson, Nathan, , 2nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
- Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, , Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8
外部链接
- Danilov, V.I., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Discrete valuation at PlanetMath.
- Valuation at PlanetMath.
- 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.