調和分析

調和分析（Harmonic analysis）也稱為諧波分析，是數學中的一個分支，是由基本波的叠加來表示其他函数或是信號，並且研究及擴展傅里叶级数及傅里叶变换（也是傅里叶分析的擴展）。自十九世紀以來，調和分析已用在許多的領域中，像是信號處理、量子力學、潮汐理論及神经科学。

光的調和分析。圖中是紅光和其他波長光線的相互作用。若波長差為λ/2（半波長），紅光完全的和二次諧波紫光同相位。圖中所有其他的光和紅光的波長差都小於λ/2，因此合成波中會出現諧波振盪。若波長差是λ/14，每14個週期都會出現一次振盪。若波長差是λ/8，每8個週期都會出現一次振盪。振盪在λ/4波長差時最為頻繁，每4個週期出現一次振盪，若波長差為λ/3，每7個週期出現一次振盪。若波長差為λ/2.5，每13個週期出現一次振盪。

Rⁿ以下的經典傅里叶变换目前仍然是一個正在研究的領域，特別是將傅里叶变换應用在一些較廣義的概念下，例如缓增广义函数（tempered distribution）。例如若在某一分佈f上加上一些條件，也會試圖將此條件轉換到f的傅里叶变换上。培力-威納定理即為此例。培力-威納定理指出若f是一個緊支撐下的非零分布（這裡包括緊支撐下的函數），則其傅里叶变换一定不會是緊支撐。這是調和分析下不确定性原理的一個基本形式。

調和分析中的調和（harmonic，或稱為諧波）起源自古希臘文harmonikos，意思是「有音樂上的技巧」[1]。在物理的特徵值問題中，開始用harmonic一詞表示某些特定的波，其頻率是其他波頻率的整數倍，就像泛音列的頻率是第一泛音的整數倍一様，後來這個詞也漸漸擴展，超過原來的意思。

傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式來進行研究，因此調和分析和泛函分析也有一些關係。