谱半径
矩陣
令λ1, ..., λn是矩陣A ∈ Cn×n中的特徵值,則其谱半径 ρ(A) is 定義為:
的条件数可以用譜半徑表示,公式為。
譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界(infimum)。另一方面,對每一個矩陣範數 都成立,Gelfand公式指出。不過,針對任意向量,譜半徑不一定會滿足。若要說明原因,可以令為任意數,考慮矩陣。的特徵多項式是,因此其特徵值為,且。不過,因此,其中是上的任何範數。至於可以當時,讓的原因是,因此當時,使。
- 針對所有
圖
此一定義可以擴散到無限圖,但是其每個頂點都只連接有限個頂點(存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C)。此情形下,針對圖G可定義:
令γ是 G的邻接算子:
G的谱半径定義為有界線性算子γ的谱半径。
上界
矩陣譜半徑的上界
以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界:
命題:令A ∈ Cn×n,其譜半徑為ρ(A),以及相容(Consistent)矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數:
證明
令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:
因為v ≠ 0,可得
因此
乘幂數列
定理
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立:
- 定理:令A ∈ Cn×n,其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若
- 另一方面,若ρ(A) > 1, 。上述敘述針對Cn×n上的任何矩陣範數都有效。
定理證明
假設問題中的極限值為零,可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特征值和特征向量對。因為Akv = λkv可得:
因為假設v ≠ 0,會得到
表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立,因此可知ρ(A) < 1。
接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理,可以知道針對所有的A ∈ Cn×n,存在V, J ∈ Cn×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得:
而
其中
因此可得
因為J是分塊對角矩陣
而若尔当方塊矩陣k次方可以得到,針對:
因此,若,則針對所有的i,都會成立。因此針對所有的i,可得:
這也表示
因此
另一方面,若,當k增加時,在J中至少有一個元素無法維持有界,因此證明了定理的第二部份。
Gelfand公式
證明
令任意ε > 0,先建構以下二個矩陣:
則:
先將之前的定理應用到A+:
這表示,根據級數極限定理,一定存在N+ ∈ N使得針對所有的k ≥ N+,下式都成立
因此
將之前的定理用在A−,表示無界,一定存在N− ∈ N使得針對所有的k ≥ N−,下式都成立
因此
令N = max{N+, N−},,可得:
因此,依定義,可得下式
舉例
考慮以下矩陣
其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義,ρ(A) = 10。在以下的表中,會以四個最常用的矩陣範式,在k增加時,計算(注意,因為此矩陣特殊的形式,):
k | |||
---|---|---|---|
1 | 14 | 15.362291496 | 10.681145748 |
2 | 12.649110641 | 12.328294348 | 10.595665162 |
3 | 11.934831919 | 11.532450664 | 10.500980846 |
4 | 11.501633169 | 11.151002986 | 10.418165779 |
5 | 11.216043151 | 10.921242235 | 10.351918183 |
10 | 10.604944422 | 10.455910430 | 10.183690042 |
11 | 10.548677680 | 10.413702213 | 10.166990229 |
12 | 10.501921835 | 10.378620930 | 10.153031596 |
20 | 10.298254399 | 10.225504447 | 10.091577411 |
30 | 10.197860892 | 10.149776921 | 10.060958900 |
40 | 10.148031640 | 10.112123681 | 10.045684426 |
50 | 10.118251035 | 10.089598820 | 10.036530875 |
100 | 10.058951752 | 10.044699508 | 10.018248786 |
200 | 10.029432562 | 10.022324834 | 10.009120234 |
300 | 10.019612095 | 10.014877690 | 10.006079232 |
400 | 10.014705469 | 10.011156194 | 10.004559078 |
1000 | 10.005879594 | 10.004460985 | 10.001823382 |
2000 | 10.002939365 | 10.002230244 | 10.000911649 |
3000 | 10.001959481 | 10.001486774 | 10.000607757 |
10000 | 10.000587804 | 10.000446009 | 10.000182323 |
20000 | 10.000293898 | 10.000223002 | 10.000091161 |
30000 | 10.000195931 | 10.000148667 | 10.000060774 |
100000 | 10.000058779 | 10.000044600 | 10.000018232 |
註解
- Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. . Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 (英语).
- 此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8,以及Lax 2002,第195–197页
參考資料
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, , Interscience Publishers, Inc., 1963
- Lax, Peter D., , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1