连续傅里叶变换

在数学中，连续傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子。 不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。 在数学分析中，信号${\displaystyle f(t)}$的傅里叶变换被认为是处在频域中的信号。 这一基本思想类似于其他傅里叶变换，如周期函数的傅里叶级数。（参见分数阶傅里叶变换得到概况）

假设${\displaystyle f}$是一个勒贝格可积的函数。 我们定义其连续傅里叶变换${\displaystyle F}$也是一个复函数:

对任意实数 ${\displaystyle \omega }$(这里${\displaystyle i}$是虚数单位)，

${\displaystyle F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$

${\displaystyle \omega }$ 为角频率，${\displaystyle F(\omega )}$为复数，并且是信号在该频率成分处的相位和幅度。

傅里叶变换是自反映射，若 ${\displaystyle F(\omega )}$如上定义，${\displaystyle f}$是連續的，则对于任意实数 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }$

每个积分前的${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2\pi }}}$为规范化因子。 因子的选择是主观任意的，只要满足二者的乘积为${\displaystyle 1 \over {2\pi }}$，如上取法称为归一化常数。 另一种常见取法是前向方程和反向方程分别为${\displaystyle 1}$和${\displaystyle 1 \over {2\pi }}$。 粗略估计，数学家通常使用前者（由于对称的原因），而物理学家和工程师们则常用后者。

另外，傅里叶坐标${\displaystyle \omega }$有时可用${\displaystyle 2\pi \nu }$来代替，在频率${\displaystyle \nu }$上积分，这种情况下，归一化常数都变为单位${\displaystyle 1}$。 另一个主观的常规选择是，不管前向变换中的指数是${\displaystyle +i\omega t}$还是${\displaystyle -i\omega t}$，只要满足前向和反向方程中指数符号相反即可。