阿贝尔群

阿貝爾群有兩種主要運算符號—加法和乘法。

約定	運算	單位元	冪	逆元
加法運算	x + y	0	nx	−x
乘法運算	x * y或xy	e或1	xn	x −1

一般地說，乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（矩陣），它稱爲凱萊表。如果群G = {g₁ = e, g₂, ..., g_n}在運算⋅下，則這個表的第(i, j)個表項包含乘積g_i ⋅ g_j。群是阿貝爾群當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的（就是說這個矩陣是對稱矩陣）。

這是成立的因為如果它是於阿貝爾群，則g_i ⋅ g_j = g_j ⋅ g_i。這蘊含了第(i, j)個表項等于第(j, i)個表項，就是說這個表示關于主對角線對稱的。

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群G都可以表達為素幂（prime-power）階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在G有零秩時的特殊情況。

mn階的循環群${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$同構於${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$與${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$的直和，當且僅當m與n是互素的。可推出任何有限阿貝爾群G同構於如下形式的直和

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$

以任何下列規范方式：

• 數k₁,...,k_u是素數的冪
• k₁ 整除k₂，它又整除k₃，如此直到k_u。

例如，${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} _{15}}$可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和：${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是同構的的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要么${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$(整數0到7在模8加法下)，${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$（奇數1到15在模16乘法下），要么${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$。

小於等于16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群G的自同構。要這么做，可利用如果G分解為互素階的子群的直和H ${\displaystyle \oplus }$ K，則Aut(H ${\displaystyle \oplus }$ K) ${\displaystyle \cong }$ Aut(H) ${\displaystyle \oplus }$ Aut(K)的事實（這里就不證明了）。

基本定理證明了要計算G的自同構群，分別計算西羅p子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有p的冪的階）。固定一個素數p并假設西羅p子群的循環因子的指數e_i是按遞增次序安排的：

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

對於某個n > 0。需要找到

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{p^{e_{n}}}}$

的自同構。一個特殊情況是在n = 1的時候，此時在西羅p-子群P中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限循環群的自同構的理論。另一個特殊情況是在n為任意的但e_i = 1對於1 ≤ i ≤ n的時候。這里考慮P為有著形式

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{p}}$，

所以這個子群的元素可以被看作構成了在p元素的有限域${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$上的n維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此

${\displaystyle \mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p})}$,

它早先證明了有階

${\displaystyle |\mathrm {Aut} (P)|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1})}$.

在最一般情況下，這里的e_i和n是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義

${\displaystyle d_{k}=\mathrm {max} \{r|e_{r}=e_{k}^{\,}\}}$

并且

${\displaystyle c_{k}=\mathrm {min} \{r|e_{r}=e_{k}^{\,}\}}$

則有著特別的d_k ≥ k, c_k ≤ k，并且

${\displaystyle |\mathrm {Aut} (P)|=\left(\prod _{k=1}^{n}{p^{d_{k}}-p^{k-1}}\right)\left(\prod _{j=1}^{n}{(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}{(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}}\right)}$。

可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見[Hillar,Rhea]）。