黑格纳数

歐拉的質數多項式如下：

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，${\displaystyle n}$取值為1,... 40和以下的多項式

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

讓${\displaystyle n}$取值0,... 39時等效，而Rabinowitz[2]證明了

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

在${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式${\displaystyle 1-4p}$等於負的黑格纳数。

（若代入${\displaystyle p-1}$會得到${\displaystyle p^{2}}$一定不是質數，因此最大值只能取到${\displaystyle p-2}$）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$，這些數字被弗朗索瓦·勒·利奥奈稱為歐拉的幸運數[3]。

拉马努金常数是${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$的值，是超越數[4]，但非常接近整数：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots }$

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現[5]，在1975年愚人節的《科学美国人》[6]，《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用j-invariant的複數乘法及q展開來表示。

1. Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整數乘積：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
• Clark, Alex. . Numberphile. Brady Haran. [2013-10-08]. （原始内容存档于2013-05-16）.