可數集

如果存在从${\displaystyle S}$到自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,\ldots \right\}}$存在单射函数，则${\displaystyle S}$称为可数集。[4]

如果${\displaystyle S}$还是满射，则同样是双射，则称${\displaystyle S}$是无限可数集。

换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$有一一对应关系。

如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。

由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的，因為我們可以將所有的${\displaystyle n}$都對應到${\displaystyle 2n}$，如此就完成了一一對應。類似地，不難證明所有整數構成的集合${\displaystyle Z}$、所有有理數構成的集合${\displaystyle Q}$、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。

並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合${\displaystyle R}$是不可列的，即${\displaystyle R}$與${\displaystyle N}$之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數，因為剛才已經說過代數數是可列的；於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。

由定义，如果存在从${\displaystyle S}$到自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$存在单射函数${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {N} }$，则${\displaystyle S}$称为可数集。

这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。

为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：

${\displaystyle a\leftrightarrow 1,b\leftrightarrow 2,c\leftrightarrow 3}$

由于${\displaystyle \left\{a,b,c\right\}}$的每个元素都可以和${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$中准确的一个配对，并且反过来也同样，这就定义了一个双射。

我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？

考虑集合${\displaystyle A=\left\{1,2,3,\ldots \right\}}$（正整数集），和${\displaystyle B=\left\{2,4,6,\ldots \right\}}$（正偶数集）。我们说，在我们的定义下，这些集合有相同的大小，并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的，运用${\displaystyle n\leftrightarrow 2n}$，那么

${\displaystyle 1\leftrightarrow 2,2\leftrightarrow 4,3\leftrightarrow 6,4\leftrightarrow 8,\ldots }$

正如前面的例子，${\displaystyle A}$的每个元素都已和${\displaystyle B}$中准确的一个配对，并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子，这种情形在有限集中是不可能的。

同样，自然数的有序对的集合，也就是自然數集合的笛卡爾積 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$，是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：

康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数

配对结果就像这样：

${\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }$

显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。另一個證明方法是可以定義一個從自然數集合的笛卡爾積 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$到自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} }$的單射函數${\displaystyle f(p,q)=2^{p}3^{q}}$。

利用數學歸納法，可知在n是個有限的自然數時，自然數集合的n-元笛卡爾積 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\mathbb {N} =\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in \mathbb {N} \}}$是可數的。利用自然數集的笛卡爾積是可數的這點，可以證明整數集和有理數集是可數集，這是因為整數可以視為自然數的有序對（可將正整數${\displaystyle n}$給視為${\displaystyle (n,0)}$，將負整數${\displaystyle -n}$給視為${\displaystyle (0,n)}$），而以最簡分數形式表示的有理數${\displaystyle p/q}$也可視為整數的有序對${\displaystyle (p,q)}$所致。

另外，可數無限多個可數集的聯集是可數的，這是因為可以定義一個單射函數，將可數無限多個可數集的聯集給映至自然數集合的笛卡爾積 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$之故。

不過可數無限多個自然數集合的笛卡爾積不是可數的，這可以透過康托的對角論證法證明。

• Aleph数
• 计数
• 希尔伯特旅馆悖论
• 不可数集
• 有限集合

1. 例子参见（Rudin 1976，Chapter 2）
2. 参见（Lang 1993，§2 of Chapter I）.
3. 参见（Apostol 1969，Chapter 13.19）.
4. 因为显然N和N* = {1, 2, 3, ...}之间显然存在双射，无所谓是否把0算作自然数。在任何情况，这篇文章都遵循ISO 31-11和数学逻辑中的标准传统，将0作为自然数。

• Lang, Serge, , Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4
• Rudin, Walter, , New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X