七边形

正七邊形的面積（A）可以利用其邊長（a）來計算：

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}}$。

將正七邊形的頂點與幾何中心相連可以將正七邊形分成七個扇三角形，這些三角形可再藉由邊心線將之一分為二。正七邊形的邊心距是${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$正切值的一半，而這十四個小三角形的面積就會是四分之一倍的邊心距。

其確切的代數式是三次方程${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1}$，其中的一個根為${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}}$[3]，在複數中表示為：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}}\right)}},}$

其中，複數中的虛數部最後會互相抵銷使結果為實數。這個表達式不能被全部是實數的式子重寫，也不能透過化簡消去其虛數的部分。

正七邊形的邊數7是一個皮爾龐特質數但不是費馬質數，因此不能用沒有刻度的直尺和圓規來作圖，但可以用一把有刻度的尺來作圖。這種作圖法稱為纽西斯作图法。单用无刻度直尺和圆规不可能作出正七边形是因为，通过观察发现，${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$是不可约三次多项式${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-2x-1\,}$一个零点。因此这个多项式是：${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}}$的最小多项式。

然而尺規作圖仍可以作出近似的正七邊形[4]。

從內角完成正七邊形的二刻尺作圖。	外接圓半徑為${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$的正七邊形二刻尺作圖動畫。此法根據安德魯·馬太·格里森[3]基於三等分角。
仅仅使用直尺和圆规，可以近似作出正七边形，误差大约为${\displaystyle \approx 0.2\%}$。设A为圆周上一点，作圆弧${\displaystyle BOC}$。那么${\displaystyle BD={1 \over 2}BC}$大约就是圆内接正七边形的边长。	另外一種正七邊形的近似作圖 ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB = 51.42855809...° ; 360° ÷ 7 = 51.42857142...° ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB - 360° ÷ 7 = -0.00001333...° (1 arcsec = 0.00027...°) 作圖誤差: 在外接圓半徑r = 10 km時，第一條邊的絕對誤差大約是-2.1 mm.

正七边形的近似作图

下圖顯示了一個具有約0.2％誤差的正七邊形近似作圖。此法由阿尔布雷希特·丢勒提出[5]

若將一個七邊形的邊長以${\displaystyle \scriptstyle {S=3{\tfrac {2}{11}}}}$單位長繪製在圓半徑為${\displaystyle \scriptstyle {R=3{\tfrac {2}{3}}}}$的外接圓上時，其絕對誤差可以降低到0.00013%。

這種近似值來自於${\displaystyle \scriptstyle {{\tfrac {S}{R}}=\ 2\sin {\tfrac {\pi }{7}}\approx 1-\left({\tfrac {4}{11}}\right)^{2}}}$。這種正七邊形畫法誤差十分小，即使繪製外接圓半徑1公里大的正七邊形誤差也僅有1.1毫米。

正七邊形的對稱群。頂點的顏色是依照其對稱特性繪製。

正七邊形具有14階的Dih₇二面體對稱，由於7是一個質數，因此其只有一個子群：Dih₁以及2個環形對稱群：Z₇和Z₁。

若一正七邊形邊長為a、最短對角線為b、最長對角線為c，其滿足等式${\displaystyle a<b<c}$ [6]^{:Lemma 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ （倒數和等式）