下限拓扑
數學上,下限拓撲是定義在實數集 上的拓撲。其不同於 上的標準拓撲(由開區間生成),且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲,其中 a 和 b 取遍任意實數。
這樣得到的拓撲空間稱為 Sorgenfrey 直線(得名自 Robert Sorgenfrey)或箭頭,有時記為 . 與康托集和長直線類似,Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。
與自身的積也是有用的反例,稱為 Sorgenfrey 平面。
類似地,可以定義 上的上限拓撲,其性質與下限拓撲完全相同。
性質
- 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細(具有更多開集)。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並,故在下限拓撲中也是開集。
- 對任意實數 和 , 區間 都是 的闭开集(既是开集,也是闭集)。而且,對任意實數 , 集合 和 皆為閉開集。故 為完全不连通空间。
- 的緊子集只能是可數集(允許是有限集)。要證明此結論,考慮非空緊集 . 取定 , 考慮 的開覆蓋:
- 由於 為緊,此開覆蓋具有有限子覆蓋,故存在實數 使得區間 不含 除 以外的點。這對任意 為真。現選取有理數 . 對不同的 , 區間 兩兩不交,故函數 為單射,故 至多可數。
參考資料
- . at.yorku.ca. [2018-07-05]. (原始内容存档于2011-06-04).
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446
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