位置空间与动量空间

在拉格朗日力学中，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$通常是在位形空间中给出的。其中，${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}\right)\,\!}$是一个n元广义坐标。描述物体运动的拉格朗日方程为：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$

引入广义坐标对应的正则动量：

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$

拉格朗日方程可以化为：

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\,.}$

拉格朗日量还可以在动量空间中给出，${\displaystyle {\mathcal {L}}'(\mathbf {p} ,\ {\dot {\mathbf {p} }},\ t)\,\!}$[2]。其中，${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\right)\,\!}$是一个n元的广义动量。通过勒让德变换改变广义坐标空间中拉格朗日量的全微分的变量：

${\displaystyle d{\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}dt\,,}$

依据微分的乘积法则存在：

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$

将这两个式子代入可得：

${\displaystyle d\left[{\mathcal {L}}-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}dt\,.}$

由此可得${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$的全微分为：

${\displaystyle d{\mathcal {L}}'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial t}}dt}$

由此可以得到上述各个量之间的关系：

${\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$

综合后两个方程，可以得到动量空间中的拉格朗日方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial p_{i}}}\,.}$

拉格朗日方程的坐标表述以及动量表述中所包含的系统动力学信息是相同的。当需要考虑到系统的动量以及角动量时，方程的动量表述形式将可以简化演算过程。

与拉格朗日力学中必须全部使用坐标或是全部使用动量的情况不同，在哈密顿力学中，哈密顿方程将坐标与动量放在了对等的地位。对于一个哈密顿量为${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)}$的系统，其运动方程为：

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$

假设位置表象下存在一个三维波函数${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} \right)}$，其可以表述为正交基矢${\displaystyle \psi _{j}\left(\mathbf {r} \right)}$的权重和：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$

在连续取值情形时，以积分形式表达则为：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} }\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {k} }$

如果我们选定的${\displaystyle \psi _{j}\left(\mathbf {r} \right)}$为动量算符的本征矢，${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$中将保留有重建${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} \right)}$的全部信息，也就是说我们得到了${\displaystyle \psi }$的另一种表述形式。

位置表象下，动量算符可以表示为：

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$

其本征矢为：

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

本征值为ħk。由此可以得到：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} }\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\rm {d}}^{3}\mathbf {k} }$

从上面的过程还可以看出，位置表象到动量表象的变换过程实际上是进行了一次傅里叶变换。[5]

进行上述过程的逆过程。假设动量表象下的一个三维波函数${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$可以表示为正交基矢${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$的权重和：

${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} )}$

积分形式为：

${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

动量表象下，位置算符可以表示为：

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$

其本征矢为：

${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

本征值为r。因而我们可以对于${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$进行类似的逆构，逆构过程实际上是反傅里叶变换[5]：

${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

当通过傅里叶变换给出一个系统的幺正算符时，r与p可以证明是酉等价的，也就是说它们有相同的谱性。用物理语言来说就是，动量算符在动量表象中对于波函数的作用等价于位置算符在位置表象中对于波函数的作用。