分子对称性

分子對稱性可分成5種對稱元素。

• 旋转軸：分子绕軸旋轉${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$度角後与原分子重合，此軸也稱為n重旋轉軸，簡寫為C_n。例如水分子是C₂而氨是C₃。一個分子可以擁有多個旋转軸；有最大n值的稱為主軸，为直角坐標系的z軸，较小的则称为副轴。n≥3的轴称高次轴。
• 對稱面：一個平面反映分子後和原分子一樣時，此平面稱為對稱面。對稱面也稱為鏡面，记為σ。水分子有兩個對稱面：一個是分子本身的平面，另一個是垂直於分子中心的平面。包含主轴，与分子平面垂直的对称面称为垂直镜面，记为σ_v；而垂直于主轴的对称面则称为水平镜面，记为σ_h。等分两个相邻副轴夹角的镜面称等分镜面，记作σ_d。一個對稱面可以笛卡爾坐標系識別，例如(xz)或(yz)。
• 對稱中心：从分子中任一原子到分子中心连直线，若延长至中心另一侧相等距离处有一个相同原子，且对所有原子都成立，则该中心称为对称中心，用i表示。对称中心可以有原子，也可以是假想的空间位置。例如四氟化氙（XeF₄）的對稱中心位於Xe原子，而苯（C₆H₆）的對稱中心則位於環的中心。
• 旋轉反映軸：分子绕轴旋转${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$度，再相对垂直于轴的平面进行反映后分子进入等价图形，记为S_n。该操作是旋转与反映的复合操作，例子有四面体型的含有三个S₄轴的四氟化硅，以及有一个S₆轴的乙烷的交叉式构象。
• 恒等元素：簡寫為E，取自德語的Einheit，意思為“一”。[6]恒等操作即分子旋转360°不变化的操作，存在于每個分子中。這個元素似乎不重要，但此條件對群論機制和分子分类却是必要的。

這5種對稱元素都有其對稱操作。對稱操作為了與對稱元素作區別，通常但不絕對的，會加上脫字符號。所以Ĉ_n是一個分子繞軸旋轉，而Ê為其恆等元素操作。一個對稱元素可以有一個以上與它相關的對稱操作。因為 C₁ 与 E、S¹ 与 σ 、 S² 与 i相等，所有的對稱操作都可以分成真转动或非真转动(proper or improper rotations)。

一個對稱操作的集合組成一個群，with operator the application of the operations itself，當：

• 連續使用（複合）任兩種對稱操作的結果也在群之中（封閉性）。
• 對稱操作的複合符合乘法結合律: A(BC) = AB(C)
• 群包含單位元操作，符號 E，例如 AE = EA = A对于群中的任何操作A。
• 在群中的每個操作，都有一個相對應的逆元素 A^-1，而且 AA^-1 = A^-1A = E

群的阶為該群中對稱操作的数目。

例如，水分子的點群是 C_2v，對稱操作是 E, C₂, σ_v 和 σ_v'。它的順序為 4。每一個操作都是它本身的相反。 以一個例子做結，在一個σ_v反射後做再一個 C₂旋轉會是一個σ_v' 對稱操作 (注意："在 B後做 A操作形成 C 記作 BA = C"):

σ_v*C₂ = σ_v'

下表為典型分子的點群列表。

對稱操作可用許多方式表示。一個方便的表徵是使用矩陣。在直角坐標系中，任一個向量代表一個點，將其以對稱操作轉換左乘(left-multiplying)得出新的點。結合操作則為矩陣的乘法: C_2v 的例子如下:

${\displaystyle \underbrace {\begin{vmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{vmatrix}} _{C_{2}}\times \underbrace {\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{vmatrix}} _{\sigma _{v}}=\underbrace {\begin{vmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{vmatrix}} _{\sigma '_{v}}}$

像這樣的表示雖然存在無限多個，但是群的不可約表示（或irreps）被普遍使用，因為所有其他的群的表示可以被描述為一個不可約表示的線性組合。