刘维尔定理 (复分析)

代数基本定理的证明中有一个较为简明的基于刘维尔定理的证明。

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数${\displaystyle f}$总比另一个整函数${\displaystyle g}$小：${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$，那么这两个整函数成比例关系：${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)}$，其中${\displaystyle \kappa }$是比例常数。

考虑函数${\displaystyle h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$说明，函数${\displaystyle h}$的模长总小于等于1。另一方面，由于${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$，所以${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数${\displaystyle h}$。所以${\displaystyle h}$作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$成比例关系。

次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数${\displaystyle f}$满足：

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.}$

其中${\displaystyle M}$是一个常数系数。考虑${\displaystyle f}$的导函数。根据柯西积分公式，

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}}$

其中${\displaystyle C_{r}=\{\zeta$ ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}} 是以${\displaystyle z}$为圆心，半径为${\displaystyle r}$的圆；

${\displaystyle I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t}$

取${\displaystyle r=|z|}$，则${\displaystyle \left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.}$ 所以${\displaystyle I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi .}$，因此

${\displaystyle |f'(z)|\leqslant 2M.}$

因此依据刘维尔定理，${\displaystyle f'}$是常数函数。另一方面，${\displaystyle |f(0)|\leqslant M|0|}$，所以${\displaystyle f(0)=0.}$ 综上可知，次线性整函数${\displaystyle f}$是线性函数。

刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。