向量测度

給定集合域 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$及巴拿赫空间 ${\displaystyle X}$，有限加性向量測度（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X} ：針對任二個${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內的不交集${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，下式均成立：

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

向量测度${\displaystyle \mu }$稱為可數加性（countably additive）若針對任意${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內不交集形成的序列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$，都可以讓${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內的聯集滿足以下條件

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

等號右邊的级数會收斂到巴拿赫空间${\displaystyle X}$的范数。

可以證明向量測度${\displaystyle \mu }$有可數加性，若且唯若針對任何以上的序列${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$，下式均成立

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)}$

其中${\displaystyle \|\cdot \|}$是${\displaystyle X}$的範數。

在Σ-代数中定義的可數加性向量测度，會比有限测度（测度的值為非負數）、有限有號測度（测度的值為實數）及複數测度（测度的值為複數）要廣泛。

考慮一個由${\displaystyle [0,1]}$區間的集合形成的場，以及此區間內所有勒贝格测度形成的族${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。針對任意集合${\displaystyle A}$，定義

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$

其中${\displaystyle \chi }$是${\displaystyle A}$的指示函数。依${\displaystyle \mu }$的定義不同，會得到不同的結果。

• ${\displaystyle \mu }$若是從${\displaystyle {\mathcal {F}}}$到Lp空间 ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$的函數，${\displaystyle \mu }$是沒有可數加性的向量测度。
• ${\displaystyle \mu }$若是從${\displaystyle {\mathcal {F}}}$到L^p空間 ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$的函數，${\displaystyle \mu }$是有可數加性的向量测度。

依照上一節的判別基準(*)可以得到以上的結果。

給定向量测度${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X,} ，其变差（variation）${\displaystyle |\mu |}$定義如下

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

其中最小上界是針對所有${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中${\displaystyle A}$，所有將${\displaystyle A}$划分到有限不交集的划分

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

此處，${\displaystyle \|\cdot \|}$為${\displaystyle X}$的範數。

${\displaystyle \mu }$的变差是有限可加函數，其值在${\displaystyle [0,\infty ]}$之間，會使下式成立

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$

針對任意在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內的${\displaystyle A}$。若${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$是有限的，則测度${\displaystyle \mu }$有有界变差（bounded variation）。可以證明若${\displaystyle \mu }$為具有有界变差的向量测度，則${\displaystyle \mu }$具有可數加性若且唯若${\displaystyle |\mu |}$具有可數加性。

在向量测度的理論中，李亞普諾夫的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集[1][2][3] 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）[2]。李亞普諾夫定理有用在数理经济学[4][5]、起停式控制的控制理论[1][3][6][7]及統計理論[7]。 李亞普諾夫定理已可以用Shapley–Folkman引理證明[8]，後者可以視為是李亞普諾夫定理的离散化版本[7][9] [10]。

• 博赫纳积分