四角錐數

在數學中，四角錐數，或金字塔數，是一個有形數表示有多少球堆積成一個金字塔（四角錐，如右圖)，這是以正方形為基礎（底面為正方形）。

{{{{1}+{4}}+{9}}+{16}}=30

是四角錐数

四角錐數（square pyramidal number）如右圖所示，第一層+第二層+第三層+第四層每層都是正方形數合起來是正四角錐，也就是正方形數的級數。

例：1, 5（=1+4）, 14（=1+4+9）, 30（=1+4+9+16）, 55（=1+4+9+16+25）

用砲彈堆成的金字塔存放在法國斯特拉斯堡歷史博物館。球的數量就是四角錐數, 55。

計算方式與公式

前幾個四角錐數是：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...（OEIS中的数列A000330）。

這些數字可以表示為一個公式：

P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}

。

這是馮哈伯公式的一個特例，可以用數學歸納法來證明。

四角錐數也可以表示成二項式係數的和：

P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}

兩個四角錐數的總和是一個八面體數。

Abramowitz, M.; Stegun, I. A.（Eds.）. . National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55. 1964: 813. ISBN 0486612724.
Beiler, A. H. . Dover. 1964: 194. ISBN 0486210960.
Goldoni, G. . The Mathematical Intelligencer. 2002, 24 (4): 67–69.
Sigler, Laurence E.（trans.）. . Springer-Verlag. 2002: 260–261. ISBN 0-387-95419-8.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.