正规矩阵

在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

但是正规矩阵并非只包括上述几类，例如下面的

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$

是正规矩阵，因为：

${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A}$.

矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$既不是酉矩阵，也不是埃尔米特矩阵或斜埃尔米特矩阵。

两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵。

如果${\displaystyle \mathbf {A} }$同时既是三角矩阵又是正规矩阵，那么${\displaystyle \mathbf {A} }$是对角矩阵，这点可以由比较${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$的相应系数得到。

正规矩阵的概念十分重要，因为它们正是能使谱定理成立的对象：矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$正规当且仅当它可以被写成${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$的形式。其中的${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )}$为对角矩阵，${\displaystyle \mathbf {U} }$为酉矩阵：

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {I} }$。

矩阵Λ对角线上的元素是A的特征值，而组成U的列向量则是A相应的特征向量。

谱定理的一种陈述，是说正规矩阵正好是能在${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$的某个正交基下变成对角矩阵的那些矩阵（这里将矩阵同于${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的线性变换，并使用常用的内积）。另外一种说法为：矩阵是正规的当且仅当其特征向量能张成整个${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$，并且两两正交。

一般来说，两个正规矩阵A和B的乘积不是正规矩阵，但是，如果A和B两者可以交换，那么它们的乘积与和就仍然是正规的。这是因为它们可以“同时”（通过同一个相似变换矩阵）被对角化：

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots )\mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \ =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots )\mathbf {U} }$

于是，${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots )\mathbf {U} }$、${\displaystyle \mathbf {A+B} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots )\mathbf {U} }$都是正规矩阵。

任何方阵A都可以通过极分解写成A = UP。其中U是酉矩阵、P是某个半正定矩阵。如果A可逆，那么U和P都是唯一的。而如果A是正规矩阵，那么UP = PU（其逆命题只在有限维的情况下成立）。

正规矩阵的概念可以被推广为无穷维希尔伯特空间中的正规算子和C*-代数中的正规元素。

不同种类的正规矩阵可以与各种复数建立对应的类比关系。比如：

• 可逆矩阵类似于非零的复数。
• 矩阵的共轭转置类似于复数的共轭
• 酉矩阵类似于模等于1的复数。
• 埃尔米特矩阵类似于实数。
• 埃尔米特矩阵中的正定矩阵类似于正实数。
• 斜埃尔米特矩阵类似于纯虚数。

• 相似矩阵
• 0-1矩阵
• 基
• 若尔当标准型

• 史荣昌. . . 北京理工大学出版社. ISBN 7-810-45075-1 （中文（中国大陆）‎）.
• 苏育才. . . 科技出版社. ISBN 7-030-16355-9 （中文（中国大陆）‎）.
• 刘丁酉. . . 武汉大学出版社. : 93–95. ISBN 7-307-03821-8 （中文（中国大陆）‎）.
• [第12章：欧几里德空间与埃尔米特空间] (PDF). （原始内容 (pdf)存档于2010-06-01） （法语）.

• 刘树宽; 姚金江; 罗峰. (pdf). 济宁师范专科学校; 临沂师范学院. 2003 （中文（中国大陆）‎）.
• 吕烔兴. (pdf). 南京航空航天大学理学院. 2000 （中文（中国大陆）‎）.
• YouTube上的MIT OpenCourseWare 18.06线性代数中包含正规矩阵内容的一讲