实射影空间

n-维射影空间的一些性质：

• 1-维射影空间同胚与圆周。

• 2-维射影空间不能嵌入 R³。但可以嵌入 R⁴ 以及浸入 R³。

• n-维射影空间事实上同胚于 R⁽ⁿ⁺¹⁾² 中所有迹为 1 的对称 (n+1)×(n+1) 幂等线性变换组成的子流形。

• n-维射影空间是紧连通空间，基本群同构于 2 阶循环群（从 n-维球面到 n-维射影空间的商映射是 n-维射影射影空间被一个道路连通空间的二重覆叠）。

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}}$ 的高次同伦群恰好是 ${\displaystyle S^{n}}$ 的高阶同伦群，有纤维化的同伦长正合序列得出。

确切地，这个纤维丛是

${\displaystyle \mathbf {Z} /2\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$

你也可以类似于复射影空间将其写成

${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$

或

${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$

低次同调群是

${\displaystyle \pi _{i}\mathbf {RP} ^{n}={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} /2&i=1\\0&1<i<n\\\mathbf {Z} &i=n.\end{cases}}}$

实射影空间是光滑流形。在 Sⁿ 的齐次坐标 (x₁...x_n+1) 中，考虑子集 U_i 使得 x_i ≠ 0。每个 U_i 同胚于 Rⁿ 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了 RPⁿ 一个光滑结构。

实射影空间 RPⁿ 有一个 CW结构，在每一维有 1 个胞腔。

在 Sⁿ 上的齐次坐标 (x₁ ... x_n+1) 中，坐标邻域 U₁ = {(x₁ ... x_n+1)|x₁ ≠ 0} 可与 n-维圆盘 Dⁿ 的内部等价。当 x_i = 0，我们有 RP^{n - 1}。从而 RPⁿ 的 n - 1 骨架是 RP^{n - 1}，而且黏贴映射 f: S^n-1 → RP^{n - 1} 是一个二对一映射。我们可令

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$

归纳证明 RPⁿ 是一个 CW 复形，在每一维有 1 个胞腔。

这些胞腔与旗流形（flag manifold）上一样是舒伯特胞腔（Schubert cell）。这便是，取一个完全旗（称为标准旗）0 = V₀ < V₁ <...< V_n；则闭 k-胞腔是属于 V_k 中的直线。而开 k-胞腔（k-胞腔的内部）是 V_k\V_k-1 中的直线（属于 V_k 但不属于 V_{k - 1} 的直线）。

在齐次坐标（关于旗的）中，这些胞腔是

${\displaystyle [*:0:0:\dots :0]}$

${\displaystyle [*:*:0:\dots :0]}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle [*:*:*:\dots$ :*].}

这不是一个正则 CW 结构，因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构，在每一维有 2 个胞腔；事实上，这是球面上最小的正则 CW 结构。

在光滑结构的帮助下，莫尔斯函数的存在性可证明 RPⁿ 是一个 CW 复形。在齐次坐标中，这样一个函数可为：

${\displaystyle g(x_{1},\cdots ,x_{n+1})=\sum _{1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$

在每个邻域 U_i，g 有非退化奇点 (0...,1,...0)，这里 1 出现于第 i 个位置，具有莫尔斯指标 i。这说明了 RPⁿ 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。

与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,...,n 恰有一个胞腔。对每个维数 k，边界映射 d_k : δD^k → RP^k-1/RP^k-2，坍塌到 S^{k - 1} 上的赤道然后将对径点等同。在奇数（偶数）维，度数为 0（2）：

${\displaystyle \mathrm {deg} (d_{k})=1+(-1)^{k}.\,}$

从而整同调是

${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\mbox{ or }}i=n{\mbox{ odd,}}\\\mathbf {Z/2Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{odd,}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}}$ 可定向当且仅当 n 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地，${\displaystyle \mathbf {R} ^{p}}$ 上的对径映射有符号 ${\displaystyle (-1)^{p}}$，所以它是保定向的当且仅当 p 是偶数。从而定向特征标（orientation character）是：${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})}$ 中的非平凡回路作为 ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$ 作用在定向上，所以 ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}}$ 可定向当且仅当 n+1 为偶数，即 n 为奇数。

在实射影空间上有一个自然的线丛，称为重言丛。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶 n-维丛称为重言商丛。

在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。