最小作用量原理

於1744年，在巴黎科學院發表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》（）中，莫佩爾蒂提出，光折射的路徑，從一種介質到另一種介質，是作用量的最小值。按照這論點，如前圖，假設光線從折射率為${\displaystyle n_{1}}$的介質1折射於折射率為${\displaystyle n_{2}}$介質2，則作用量為

${\displaystyle A=m\left(v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+v_{2}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}\right)}$；

其中，${\displaystyle m}$是光線的質量。雖然光線並沒有質量，這變量對於結果沒有任何影響，可以被忽略。

取作用量對於變數${\displaystyle x}$的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{1}=v_{2}\sin \theta _{2}}$。

請注意，這結果與牛頓的光粒子理論相符合；但是，與費馬得到的結果南轅北轍，大不相同。

1747年，莫佩爾蒂在伯林科學院（）發表了論文《運動與靜止定律》（）。在這篇論文裏，他將碰撞分為兩種，彈性碰撞與非彈性碰撞。彈性碰撞遵守動量守恆和能量守恆；非彈性碰撞只遵守動量守恆。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理應用於彈性碰撞與非彈性碰撞，正確地計算出碰撞後的物體的速度。

思考一個一維非彈性碰撞，假設兩個質量分別為${\displaystyle m_{1}}$和${\displaystyle m_{2}}$的物體O₁和物體O₂，分別以初始速度${\displaystyle v_{1}}$和${\displaystyle v_{2}}$朝著同一方向移動，而且，${\displaystyle v_{1}>v_{2}}$，物體O₁緊追著物體O₂。當兩物體發生非彈性碰撞後，結合成為物體O₃，以終結速度${\displaystyle v_{3}}$移動。從固定於物體O₃的參考系觀察，物體O₁和物體O₂的速度分別為${\displaystyle v_{1}-v_{3}}$和${\displaystyle v_{2}-v_{3}}$。所以，作用量為

${\displaystyle A=m_{1}(v_{1}-v_{3})^{2}t+m_{2}(v_{2}-v_{3})^{2}t}$；

其中，${\displaystyle t}$是時間。

取作用量對於變數${\displaystyle v_{3}}$的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

${\displaystyle m_{1}(v_{1}-v_{3})+m_{2}(v_{2}-v_{3})=0}$。

所以，最終速度為

${\displaystyle v_{3}={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$。

請注意，按照這種設定參考系的方法，前面折射問題的光折射作用量應該是

${\displaystyle A=m(v_{1}-v_{2}){\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$。

還有，前面光折射作用量的距離參數是任意值，但是，非彈性碰撞作用量的碰撞前距離參數與碰撞後距離參數被設定為相等。

由於這些不一致之處，促使恩斯特·馬赫嚴厲批評，莫佩爾蒂的最小作用量原理只是一個模糊不清的概念，勉強地被用來解釋各種不同的物理現象[11]。

假設沒有任何作用力施加於這粒子，則這粒子以均勻速度移動：

${\displaystyle A=\int Mv\,\mathrm {d} s=Mvs}$。

只有在軌道長度${\displaystyle s}$為最小值時，才能得到作用量最小值。這軌道是一條直線。

假設這移動於二維空間的粒子感受到均勻重力${\displaystyle \mathbf {F} =Mg{\hat {\mathbf {y} }}}$，則根據活力定律（），

${\displaystyle {\frac {1}{2}}Mv^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{0}^{2}+Mgy}$；

其中，${\displaystyle v}$是瞬時速度，${\displaystyle v_{0}}$是最初速度，${\displaystyle y}$是粒子朝著y-軸移動的距離，${\displaystyle g}$是加速度常數。

將這方程式代入作用量：

${\displaystyle A=\int Mv\,\mathrm {d} s=\int M{\sqrt {v_{0}^{2}+2gy}}\,\mathrm {d} s=\int M{\sqrt {v_{0}^{2}+2gy}}\,{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\ dy}$。

令${\displaystyle \delta A=0}$，求作用量的穩定值，應用變分法，可以得到歐拉-拉格朗日方程式：

${\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {v_{0}^{2}+2gy}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}}=k_{1}}$；

其中，${\displaystyle k_{1}}$是積分常數。

重新編排，可以得到

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\cfrac {k_{1}}{\sqrt {v_{0}^{2}+2gy-k_{1}^{2}}}}}$。

將這方程式積分，

${\displaystyle x={\frac {k_{1}}{g}}{\sqrt {v_{0}^{2}+2gy-k_{1}^{2}}}+k_{2}}$；

其中，${\displaystyle k_{2}}$是積分常數。

假設粒子的初始位置為${\displaystyle (0,0)}$，初始速度為${\displaystyle (0,v_{0})}$，則

${\displaystyle k_{1}=v_{0}}$、

${\displaystyle k_{2}=0}$、

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {2v_{0}^{2}y}{g}}}}$。

重新編排，可以看出這是拋物線方程式：

${\displaystyle y={\frac {g}{2v_{0}^{2}}}\ x^{2}}$。

歐拉又將這結果推廣至一群粒子。他認為最小作用原理所以正確，是因為粒子的慣性試著阻抗任何關於狀態的改變，自由粒子會選擇遵循影響最小的作用力[4]。

推廣至位形空間，拉格朗日最小作用量原理闡明，

${\displaystyle \delta A=\delta \int \sum _{i}p_{i}\mathrm {d} q_{i}=0}$；

其中，${\displaystyle p_{i}}$是廣義動量，${\displaystyle q_{i}}$是廣義坐標。

拉格朗日又注意到在作用量的方程式${\displaystyle A=\int Mv\,\mathrm {d} s}$中，

${\displaystyle \mathrm {d} s=v\,\mathrm {d} t}$。

將這方程式代入作用量，可以看見被積分項目是動能項目：

${\displaystyle A=\int Mv^{2}\,\mathrm {d} t=\int 2T\,\mathrm {d} t}$。

因此，作用量也可以表達為（忽略常數乘法因子）

${\displaystyle A=\int _{t_{i}}^{t_{f}}2T\,\mathrm {d} t}$。

歐拉-拉格朗日最小作用量原理表明，描述粒子運動的作用量必定是穩定值[13]：

${\displaystyle \delta A=\delta \int _{t_{i}}^{t_{f}}2T\,\mathrm {d} t=0}$。

請特別注意，這方程式看起來簡易精緻，然而，隱藏在使用方面有很大的問題。歐拉的作用量積分於路徑；而這作用量積分於時間。變分法要求積分域兩端固定不變。雖然路徑兩端是固定值，轉換至時間，為了要滿足能量守恆，時間間隔的兩端可能不是固定值。亞可比因此批評拉格朗日的方法有瑕疵[13]。後來，於1816年，奧淩迪·若立格（）想出新點子，將這時間作用量的變分詳細計算出來[1]。