有界集合

在数学分析和有关的数学领域中，一个集合被称为有界的，如果它在某種意义上有有限大小。反过来说，不是有界的集合就叫做无界。

（顶上的）有界集合和（底下的）无界集合的示意图。底下的这个集合一直向右延续。

定义

如果存在一个实数 k，使得对于所有 S 中的 s 有 k ≥ s，实数集合 S 被稱為“上有界”的，这个数 k 被称为 S 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。

如果集合 S 有上界和下界二者，則它是有界的。所以，如果一個实数集合包含在有限区间内，則它是有界的。

度量空间

度量空间 (M, d) 的子集 S 是有界的，如果它包含在有限半径的球内，就是说如果对于所有 S 中的 s，存在 M 中的 x 并且 r > 0，使得 d(x, s) < r。M 是有界度量空间（或 d 是有界度量），如果 M 作为自身的子集是有界的。

  • 完全有界性蕴涵有界性。对于 Rn 的子集下列二者是等价的。
  • 度量空间是紧致的，当且仅当它是完备的并且是完全有界的。
  • 欧几里得空间 Rn 的子集是紧致的，当且仅当它是闭集并且是有界的。

拓扑向量空间内的有界性

在拓扑向量空间中，存在一個有界集合的不同定义，通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所誘導，如度量是由赋范向量空间的范数所誘導的情况，则这两个定义是一致的。

序理论中的有界性

一個实数集合是有界的，当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。

偏序集合 P 的子集 S 叫做上有界的，如果对于所有 S 中的 s，有 P 中一个元素 k 使得 k ≥ s。元素 k 叫做 S 的上界。可类似的定义下有界和下界。（参见上界和下界。）

偏序集合 P 的子集 S 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等价的说，它被包含在一个区间内。注意这不是集合 S 自己的一个性质，而是集合 S 作为 P 的子集的性质。

有界偏序集合 P（就是说自身就是有界而不是作为子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关，有界偏序集合 P 的子集 S 在 P 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。

Rn 的子集 S 是关于欧几里得距离有界的，当且仅当它在乘积序下作為 Rn 的子集是有界的。但是，S 可以是在字典序下有界，而不关于欧几里得距离有界。

序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。

参见
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