谱定理

从在具有标准埃尔米特内积的有限维实或者内积空间${\displaystyle V}$上的埃尔米特矩阵${\displaystyle A}$开始；埃尔米特条件意味着

${\displaystyle \langle Ax,\,y\rangle =\langle x,\,Ay\rangle }$

对于所有${\displaystyle V}$的元素${\displaystyle x,y}$成立。

一个等价的条件是${\displaystyle A^{*}=A}$，其中${\displaystyle A^{*}}$是${\displaystyle A}$的共轭转置。若${\displaystyle A}$为实矩阵，这等价于${\displaystyle A^{T}=A}$（也即，${\displaystyle A}$是对称矩阵）。埃尔米特矩阵的特征值是实数。

先回顾一下线性算子A的特征向量是（非零）向量${\displaystyle x}$使得${\displaystyle Ax=\lambda x}$对于某个标量${\displaystyle \lambda }$成立。值${\displaystyle \lambda }$是相应的特征值。

定理：当${\displaystyle A}$是埃尔米特矩阵, 存在标准正交基${\displaystyle V}$，由${\displaystyle A}$的特征向量组成。且${\displaystyle A}$每个特征值都是实数。

这里给出复数情况的证明概要。

根据代数基本定理，任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若${\displaystyle A}$为埃尔米特矩阵，有特征向量${\displaystyle e_{1}}$，考虑子空间${\displaystyle K=\mathrm {span} \left\{e_{1}\right\}^{\perp }}$，也即${\displaystyle e_{1}}$的正交补空间。根据埃尔米特性，${\displaystyle K}$为${\displaystyle A}$的不变子空间。在${\displaystyle K}$上采用同样的论证表明${\displaystyle A}$有特征向量${\displaystyle e_{2}\in k}$。通过有限归纳法可以完成证明。

谱定理对于 n 维欧几里得空间上的对称矩阵也成立，但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值，因此特征向量有实项。

若取${\displaystyle A}$的特征向量为标准正交基，${\displaystyle A}$在这个基上的表示是对角的。等价地，${\displaystyle A}$可以写作互相正交的投影的线性组合，称为它的谱分解。令

${\displaystyle V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}}$

为对应于特征值${\displaystyle \lambda }$的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。${\displaystyle V}$是空间${\displaystyle V_{\lambda }}$的直积，其中下标取遍特征值。令${\displaystyle P_{\lambda }}$为到${\displaystyle V_{\lambda }}$上的正交投影，而${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}}$为${\displaystyle A}$的特征值，谱分解可以写作：

${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.}$

谱分解是舒尔分解的特例。也是奇异值分解的特例。

谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令${\displaystyle A}$为有限维内积空间上的算子。${\displaystyle A}$称为正规算子若${\displaystyle A^{*}\ A=A\ A^{*}}$。可以证明${\displaystyle A}$正规当且仅当它可以酉对角化：根据舒尔分解，${\displaystyle A=U\ T\ U^{*}}$，其中${\displaystyle U}$是酉矩阵而${\displaystyle T}$是上三角阵。 因为${\displaystyle A}$正规，${\displaystyle T\ T^{*}=T^{*}\ T}$，所以${\displaystyle T}$必定是对角的。反过来也是显然的。

换言之，${\displaystyle A}$正规当且仅当存在酉矩阵${\displaystyle U}$使得

${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}\;}$

其中${\displaystyle \Lambda }$是对角矩阵，其各项为${\displaystyle A}$的特征值。${\displaystyle U}$的列向量是${\displaystyle A}$的特征向量，而且他们是单位正交的。和埃尔米特的情况不同，${\displaystyle A}$的对角项未必为实数。