母函数

普通母函数就是最常见的母函数。一般来说，序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的母函数是：

${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

如果${\displaystyle a_{n}}$ 是某个离散随机变量的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。

多重下标的序列也可以有母函数，例如序列${\displaystyle (a_{m,n})_{m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} }}$ 的母函数是

${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}}$。

序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的指数母函数是：

${\displaystyle EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的泊松母函数是：

${\displaystyle PG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的L级数是：

${\displaystyle LG(a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$

注意这里的下标 n 从1 而不是0 开始。

关于算术函数 :${\displaystyle f(n)}$ 和 ${\displaystyle p}$ 的贝尔级数是：

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}$

狄利克雷级数经常被用作母函数，尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的狄利克雷级数母函数是：

${\displaystyle DG(a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

当 ${\displaystyle a_{n}}$ 是积性函数时狄利克雷级数比较有用，因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积：

${\displaystyle DG(a_{n};s)=\prod _{p}f_{p}(p^{-s})\,}$

如果 ${\displaystyle a_{n}}$是狄利克雷特征，那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}}$用于等比数列求和或推导级数${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}x^{n}}$。

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}}$用于求解一次不定方程的解数，类似隔板法。

对于非负整数${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$，${\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n}$有${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}$个解：

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+k-1}{k-1}}x^{n}}$

对于非负整数${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$，${\displaystyle x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=m}$有${\displaystyle {\binom {[{\frac {m}{2}}]+2}{2}}}$个解：

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{(1-x)(1-x^{2})^{2}}}={\frac {1+x}{(1-x^{2})^{3}}}=(1+x)\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{2n}+{\binom {n+2}{2}}x^{2n+1}}$[2]