濾波問題

考慮概率空間 (Ω, Σ, P)，並且假設在n維度欧几里得空间 Rⁿ的系統，其在時間t的（隨機）狀態Y_t為随机变量 Y_t : Ω → Rⁿ，可以由以下形式伊藤清隨機微分方程的解來求得

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

其中B是標準p維布朗运动，b : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ為漂移場（drift field），且σ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×p是擴散場（diffusion field）。假設R^m內在每一個時間的觀測H_t（其中m和n可能不同）由下式決定

${\displaystyle H_{t}=c(t,Y_{t})+\gamma (t,Y_{t})\cdot {\mbox{noise}}.}$

配合隨機微分方程的伊藤表示法，令

${\displaystyle Z_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,\mathrm {d} s,}$

因此可以得到有關觀測Z_t的隨機積分表示式：

${\displaystyle \mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\gamma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} W_{t},}$

其中W表示標準r維的布朗运动，和B和初始條件Y₀無關，c : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ，且 γ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×r

可以在所有t及x，以及特定常數C的情形下，使下式成立：

${\displaystyle {\big |}c(t,x){\big |}+{\big |}\gamma (t,x){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}}$

濾波問題如下：給定在0 ≤ s ≤ t時間內的觀測量Z_s for 0 ≤ s ≤ t，依上述觀測值，針對系統真實狀態Y_t的最佳估測Ŷ_t是什麼？

因為「依上述觀測量為基礎」，表示Ŷ_t是根據Z_s觀測量中Σ-代数下的可測函數。令K = K(Z, t) 是所有數值為Rⁿ，平方可積分，而且G_t可量測隨機函數Y的集合：

${\displaystyle K=K(Z,t)=L^{2}(\Omega ,G_{t},\mathbf {P}$ ;\mathbf {R} ^{n}).}

因為要求是「最佳估測」，表示Ŷ_t會讓Y_t和K集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值：

${\displaystyle \mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-{\hat {Y}}_{t}{\big |}^{2}\right]=\inf _{Y\in K}\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-Y{\big |}^{2}\right].\qquad {\mbox{(M)}}}$

候選估測值的空間K(Z, t)是希尔伯特空间，根據希尔伯特空间的理論，可以推得最小值問題（M）的解Ŷ_t可以表示為下式

${\displaystyle {\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )},}$

其中P_K(Z,t)表示將L²(Ω, Σ, P; Rⁿ)映射到线性子空间 K(Z, t) = L²(Ω, G_t, P; Rⁿ)的正交投影。而且，有關其条件期望，可知道若F是Σ中的次σ代數，則正交投影

${\displaystyle P_{K}:L^{2}(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P}$ ;\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})}

也就是條件期望運算子E[·|F]，也就是說

${\displaystyle P_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big |}F{\big ]}.}$

因此

${\displaystyle {\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )}=\mathbf {E} {\big [}Y_{t}{\big |}G_{t}{\big ]}.}$

這個基本結果是濾波理論中，廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。

• 平滑問題和濾波問題有緊密關係。
• 濾波器
• 信號處理中的濾波器 (信號處理)
• 卡尔曼滤波是濾波問題及平滑問題中最著名的解
• 平滑

• Jazwinski, Andrew H. . New York: Academic Press. 1970. ISBN 0-12-381550-9.
• Øksendal, Bernt K. Sixth. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1. (See Section 6.1)