环面
在几何上,一个环面是一个甜甜圈形状的旋转曲面,由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况,也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交,圆面中间有一个洞,就像一个甜甜圈,一个呼啦圈,或者一个充了气的轮胎。另一个情况,也就是轴是圆的一根弦的时候,就产生一个挤扁了的球面,就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。
几何
圆环面可以参数式地定义为:
其中
- u, v ∈ [0, 2π],
- R是管子的中心到画面的中心的距离,
- r是圆管的半径。
拓扑
拓扑学上,一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面:S1 × S1。 上述曲面,若采用R3诱导的相对拓扑,则同胚于一个拓扑环面,只要它不和自己的轴相交。
该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述,这是通过如下的等价关系来完成的
- (x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)
或者等价地说,作为单位正方形将对边粘合的商空间,表述为基本多边形 。
直观地讲,这意味着一个先绕着环面的“洞”(譬如,沿着某个纬度方向的圆)然后绕着环面“实体”(譬如,沿着特定经度方向的圆)的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以,严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。
n维环面
环面很容易推广到任意维。n维环面可以定义为n个圆的乘积:
上面所述的环面就是2维环面。1维环面就是圆。3维环面很难描述。和2维环面一样,n维环面可以表述为Rn在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即,n维环面是Rn模(modulo)整数格点Zn的群作用(该作用就是向量和)。等价地说,n维环面是n维立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。
n维环是n维紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群(如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看)。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。
环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面;也就是最大可能维度的闭子群环面。
n维环面的基本群是一个n阶自由可交换群。n维环面的k阶同调群是n取k阶的自由可交换群。因此可以推出n维环面的欧拉示性数 是0。上同调环H·(Tn,Z)可以等同为Z-模 Zn上的外代数,其生成元为n非平凡闭链的对偶。
环面着色
如果把环面分成若干区域,那么总是可以用最多7种颜色来着色,使得每对相邻区域有不同的颜色。(这和四色问题不同。)在下面的例子中,环面被分为7个区域,两两相邻,说明7色是必须的:
外部链接
- 环面的建立 页面存档备份,存于 位于网站
- 更多环的图像 页面存档备份,存于 (位于 趣味数学 页面存档备份,存于)
- Eric W. Weisstein. "环面." 位于MathWorld--Wolfram网络资源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html 页面存档备份,存于
- 气泡圈的图像和视频 位于David Whiteis的BubbleRings.com