外代数
数学上,给定向量空间的外代數,是特定有单位的结合代数,其包含了为其中一个子空间。它记为或而它的乘法,称为楔积或外积,记为。楔积是结合的和双线性的;其基本性質是它在V上交錯的,也就是:
- ,對於所有向量
外代数(英語:)也稱為格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以紀念赫爾曼·格拉斯曼。
这表示
- ,對於所有向量,以及
- ,當 线性相关时。
注意这三个性质只对中向量成立,不是对代数中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示,请参看下文。
形式为的元素,其中在中,称为-向量。所有-向量生成的的子空间称为的-阶外幂,记为。外代数可以写作每个阶幂的直和:
该外积有一个重要性质,就是-向量和-向量的积是一个-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由给出。这些-向量有几何上的解释:2-向量代表以和为边的带方向的平行四边形,而3-向量代表带方向的平行六面体,其边为, , 和。
定义及运算律
外代数有很多种等价的定义,下面的定义是最简洁的一个。
定义: 设 是域 上的一个向量空间,讓則定義
令 为 的张量代数的理想(即双边理想),该理想是由所有形如的张量生成的(其中任意),则将上的外代数定义为商代数,即
为的-阶外幂(th exterior power of ),称中的元素为-向量(-multivector)。
注:
- ,当且仅当时才有,因此,可以把等同于,并且把记为;基于类似的原因,可以把等同于,而且把记为。这一点是前面所讲的能够把记为 的特例和前提。
- 当时,-向量并不仅限于形如的元素,例如,也是2-向量,其中.
- 理想中的元素并不仅限于形如的张量,例如,
- , 必定有 和.
- , 由于和以及,显然有,这就有一个推论:所有的二阶对称张量都在理想中。
- 由于上面的两个结论,,我们有,这是因为等式右边的每一项都在中。对张量的阶数作数学归纳法,则可以证明:, ,总有。
- 设,则,作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元,可以把这个-阶的完全反对称张量等同于, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中,-向量就是以这种方式定义的。
运算律 将上面的注中的内容用写出,则分别给出
(1) ,
证明如下: 作为等价类,我们从中任意挑选一个代表元,则而且。根据商代数的定义,
类似地,可以证明
(2) 根据注3.1中的内容,显然有.
(3) 根据注3.2中的内容,对任意成立着
注:即使的特征为2,这个公式也是对的,只不过此时有而已。
(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质,运算满足结合律和分配律:
其中都是任意的。
以前两条性质为例,其证明如下:设张量分别是中的代表元,即, , , 则
(5) 根据上面的(3)和(4),用数学归纳法可以证明:
证明从略。
基底和维数
是阶外幂的一个基。理由如下:给定任何如下形式的楔积
则每个向量可以记为基向量的一个线性组合;利用楔积的双线性性质,这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0;任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序,在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲,最后基-向量前的系数可以用通过积来描述的矩阵的子式来计算。
数一下基元素,我们可以看到的维数是n 取 k。特别的有, 对于.
外代数是一个分级代数,是如下直和
其维数等于二项式系数之和,也就是.
例子: 欧氏三维空间的外代数
考虑空间,其基为。一对向量
的楔积为
其中是三维空间的基底。
再加一个向量
- ,
这三个向量的楔积是
其中是一维空间的基底。
空间是, 而空间是。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间,这是八维向量空间
- .
那么,给定一对8维向量和, 其中如上给出,而
- ,
和的楔积如下(用列向量表达),
- .
容易验证8维楔积以向量为乘法幺元。也可以验证该代数的楔积是结合的(也是双线性的):
所以该代数是有单位且结合的。
叉乘的实质,赝向量与赝标量
对三维欧几里得空间可以建立一个线性同构如下:任取的右手的标准正交基,,,规定把,,分别映射为,,,则的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出,对任意向量和,这个线性同构把映射为。这就是叉乘(向量积)的实质。例如,中平行四边形的面积向量可以表示为,推广之后,高维黎曼流形中的紧的二维曲面的面积用
来计算(其中是度规张量场在上的诱导度规 的坐标分量),由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。
物理学中经常要区分的向量(极向量)与赝向量(轴向量)这两个概念,现在就容易理解了:从根本上说,向量是中的元素,所以在空间反演变换下不会改变方向;而赝向量其实是中的元素,故在空间反演变换下会改变方向。
类似地,借助于右手的标准正交基,可以把中的元素映射为“标量"。但是,在空间反演变换下它就会原形毕露,所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的,而赝标量在空间反演下会改变符号。
泛性质及构造
令为一个域(在多数应用中,也就是实数域)上的向量空间。是“最一般”的包含的并有一个交替乘法在上由单位的结合-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达:
要构造最一般的包含的代数,而且其乘法是在上交替的,很自然可以从包含的最一般的代数开始,也就是张量代数,然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取中由所有形为的元素生成的双边理想,其中属于,并定义为商
(并且使用为中的乘法的代号)。然后可以直接证明包含并且满足上述泛性质。
如果不是先定义然后把外幂等同为特定的子空间,我们也可以先定义空间然后把它们合并成为一个代数。这个方法在微分集合中常常用到,并在下节中有描述。
反对称算子和外幂
给定两个向量空间和,一个从到的反对称算子是一个多线性映射
使得只要是中线性相关的向量,则
- .
最著名的例子是行列式值,从到的反对称线形算子。
映射
它关联中的个向量到他们的楔积,也就是它们相应的-向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子,存在一个唯一的线性映射。这个泛性质表述了空间并且可以作为它的定义。
所有从到基域的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若是有限维的,维数,则该空间可以认同为,其中表示的对偶空间。特别的有,从到的反对称映射的空间是取维的。
在这个等同关系下,若基域是或者,楔积有一个具体的形式:它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设和为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样,楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下:
其中多线性映射的交替定义为其变量的所有排列的带符号平均:
注意: 有一些书中楔积定义为
微分形式
令为一个微分流形。一个微分k-形式是(的余切丛的阶外幂)的一个截面。等价的有:是的光滑函数,对于的每个点给定一个的元素。大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
注释
- R. Penrose. . Vintage books. 2007. ISBN 0-679-77631-1.
- J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. . W.H. Freeman & Co. 1973: 83. ISBN 0-7167-0344-0.
- 由下述等价关系 所形成的等价类: